ВАДИМЪ РОМАНЮКЪ все классно написал, но я попробую совсем на пальцах объяснить.
Вот Вы прекрасно знаете, что такое программа на компьютере. Например "Калькулятор". Так вот, внутри программы есть написанные программистом функции, например, такие как: "умножение", "деление", "сложение" и "вычитание". И эти функции "видит" только сама программа "Калькулятор". А вот если сделать так, что-бы эти функции могла видеть и использовать и другая программа? Вот именно это и делают программисты, т.е. создают функции и процедуры, которые видны другим программам и называется это API. И теперь, когда я захочу написать программу "Мой_Калькулятор", то смогу не заново создавать, например, функцию "умножение", а подключить(ся) к программе "Калькулятор" через ее API и использовать ее функцию))).
API - Application program interface. Программный интерфейс приложений. Интерфейс = взаимосвязь.