Именно с нами, людьми, живущими в данный момент не случится абсолютно ничего, мы этого даже, пожалуй, не заметим. Но, например, можно предположить, что весь космос будет статичен. Не в том смысле, что объекты перестанут крутиться, астероиды летать и т.д., а в том, что расстояние между объектами останется тем же (потому что под расширением имеется ввиду не прогрессирование размеров Вселенной, а увеличение/уменьшение дистанций между её объектами). Так что, если наша цивилизация еще будет существовать, это может, например, спасти нам жизнь через 3 млрд лет, когда Туманность Андромеды столкнется с Млечным путем. Этот пример, конечно, притянут за уши, потому что прогнозировать нашу участь в этом процессе еще рано.
В космологии такой вариант будущего связывают с последующим сжатием Вселенной (он получил название Большое сжатие), который основывается на том факте, что в конечном итоге общее гравитационное притяжения должно остановить расширение Вселенной и сформировать новый процесс - коллапсирование Вселенной и ее сжатитие до состояния сингулярности - точки с бесконечной плотностью, массой и температурой (как в центре черной дыры), с которой, по теории БВ, и началось развитие Вселенной. Существует гипотеза, согласно которой, расширение Вселенной переодически сменяется сжатием до сингулярности и последующим таким же бесконечным алгоритмом (аналогия с пружиной).
Если я не права, поправьте меня, пожалуйста :)
С нами ничего не случиться, но если Вселенная действительно перестанет расширяться, то у будущих поколений молодых физиков возникнут новые темы для диссертаций.