Сделать дела, которые давно откладываешь.
Прочитать интересную книгу.
Заняться творчеством (рисование, рукоделие, клеить модельки).
Заняться перестановкой в комнате, возможно сделать мелкий косметический ремонт.
Погулять по городу или встретиться со старыми знакомыми.
Сходить на все фильмы в прокате на эту неделею.
Сходить на выставки, в музеи.
Походить в тренажерный зал или начать делать упражнения дома.
Начать писать прозу, стихи или просто мысли на бумаге.
Если вы учитесь, то заняться делами, касающимися учебы (повысить профессиональные навыки, например)
Попробовать освоить новые навыки или сделать что-то чего не делал раньше (например научиться готовить какое-нибудь вкусное блюдо).
Покататься на лошадях или лыжах.
А вообще можно неделю телевизор смотреть без остановки, тут уж на что вы горазды.
Вообще занятия можно перечислять до бесконечности, любой известной человеку деятельностью можно заняться за неделю без интернета.
А что даст отказ от интернета зависит от вас, если вы активный его пользователь, то вам будет тяжко, это затруднит общение с друзьями, если вы общаетесь посредством интернета. Будет тяжело икать необходимую информацию, смотреть фильмы и тд.
Но если вы не особо от него зависимы, то вам это ничего не даст, просто будете уделять больше времени другой деятельности.
Читать хорошие книги.
Заниматься спортом.
Встречаться и общаться вживую с интересными людьми.
Посещать интересные ивенты: выставки, музеи, театры.