Можно отнести радость большей частью ко внутреннему состоянию, а веселье ко внешнему проявлению. То есть радость это больше чувство, а веселье — эмоция.
Но радость бывает очень разной, внутренней и тихой или распирающей, но это благостное чистое чувство.
Веселье тихим трудно представить, это раззадоренное состояние, иногда трудно остановиться... Напоказ бывает чаще, чем радость. Веселье обычно связано с развлечениями, а радость может оставаться невыраженной, но всё равно всегда очень приятно в ней пребывать.
Радости и счастья♥