Как я считаю, весёлое - более эмоциональная часть радостного.
Радость более сдержана, строга. Веселье более эмоционально, активно. Может, более детское.
"Рад видеть тебя". То есть мне приятно видеть тебя.
"Повеселились по полной программе". То есть был шум, шутки, положительная громкая активность. А после осталась радость от того, что это было организовано.