Нужно понимать, что именно за мебель.
Если речь идёт о дешёвых линейках типа ЛАКК, то у вас большие проблемы) очистить её не получится, т.к. она состоит из картона и бумаги.
Весь жир впитывается и вывести его будет почти невозможно. Не оставляйте мокрых тряпок на этих местах или литры чистящих средств. Материал впитает и их и разбухнет... Единственное что может помочь в не особо сложных случаях - соль и сода. Попробуйте оставлять хорошие такие кучки того и другого на пятнах на несколько дней, возможно результат будет, если масло не успело впитаться глубоко, но полностью от пятен вряд ли избавит.
Приятная новость, что эта мебель чаще всего не очень дорогая и легко может быть декорирована или перекрашена. Мне лично очень нравится как она смотрится в плёнках под мрамор или дерево, которые стоят не дорого и клеятся легко.
Если у вас мебель из других материалов, то очистить можно, но универсального средства не существует. В зависимости от сложности и материала могут помочь те же сода и соль, уксус, ваниш. Если пятно уже въевшееся, можно аккуратно снять верхний слой покрытия, шлифануть и покрыть заново.