А с чего это она должна бесить? Это то же самое, что беситься от слова "Здравствуйте", потому что по факту ты не желаешь человеку здоровья, а просто приветствуешь его. В мире есть столько вещей, которые достойны того, чтобы от них беситься, но формы вежливости туда относить не стоит. И в русском язык есть много альтернатив прощанию, если Вам не хватает великодушия произнести такую простую фразу, как "хорошего дня", а тем более иметь это ввиду, то можете говорить просто "до свидания". Или "Всего хорошего". Хотя нет, думаю, эта фраза Вас тоже бесит.