Да, неврологи лечат депрессию и тревожные расстройства. Обычно на приеме у неврологов очень много людей с пограничными психическими расстройствами.
Некоторые неврологи не разбираются в психотерапии. Тогда они направляют к психиатру. Это тоже возможный способ лечения.
Смотрите на специализацию врача)