Как вообще можно чувствовать себя мужчиной или женщиной? Как можно объяснить это ощущение?

Человек - это не мужчина и не женщина. Человек - это способ связи сознания и тела. 

Пол имеет только тело. Почувствовать пол непосредственно можно только через тело.  

Оставляя вне рассмотрения  патологии тела, попробую "объяснить это ощущение". 

Ощущать (или осознавать) можно только довольство (принятие) или неприязнь (отвращение) к  полу своего тела. 

Согласие считать себя тем или иным телом возникает вследствие многочисленных и регулярных (в течение длительного времени)  поощрений, связанных с этим телом. 

Тогда согласие на ассоциативную связь с определенным телом — это и будет "почувствовать себя" <кем-то>. Если, например, человеку нравятся олени больше, чем люди (олени — милые животные), то  может быть создана устойчивая ассоциативная связь себя с оленем. Или с котиком. 

Причина желания ассоциировать себя с иным, "не своим" телом —  это скорее всего следствие неприятия своего тела, данного рождением, из-за длительного отсутствия поощрения, связанного с собственным телом. 

Радость от обладания тем телом, которое есть, в том числе и радость от принадлежности к своему полу возникает вследствие успешности деятельности в той роли, которая ассоциирована в индивидуальном сознании человека, с полом его тела. Позитивные примеры значимых близких или симпатичных персонажей из культурной среды также способствуют принятию этой своей особенности. И наоборот.

Всякий выбор определяется количеством позитивных ассоциаций, связанных с объектом выбора. Но тело - не выбор человека (рост, пол, возраст, и т. п.). Что-то можно менять искусственно, но зачем? 

Недовольство полом - следствие фиксации на прошлых неудачах в исполнении этой роли (большое количество негативных ассоциаций) или  отсутствие принятия себя вообще (общее недовольство жизнью и собой, каждым своим действием, непрерывная злобная самокритика). Эта фиксация, вместе с приданием полу сверхценности и сверхзначимости, может вызвать протест против своей половой принадлежности, несогласие с ней, отвращение к своему телу (частичное или полное), отвержению части себя или всего себя, негативное отношение к себе.

Лишняя ответстветвенность  —  это ответственность за выбор своего пола, неприятие данности своего тела, возможно, частичное или полное неприятие своего существования. Ни одно тело не лучше и не хуже другого — у каждого тела своя функция в природе, как у каждой части тела в организме. Лишних нет. Все необходимые. Все — части одной системы.

Есть хорошая книга на близкую к вопросу тему: "Баранкин, будь человеком" подробная, наглядная и с примерами. Сюжет построен на том, что у героя вследствие информационной перегрузки  возникает идея "беззаботности жизни" в ином теле. 

Когда незаметны минусы существования в том или ином теле, снаружи кажется, что "у них все хорошо". А вы не задумывались, что коты - узники людей? Они много времени вынуждены проводить в одном и том же пространстве, есть то, что дают, иногда одно и то же все время, не говоря о кастрации. И пожаловаться внятно они не могут. Никто не знает, что они думают по этому поводу, и что именно чувствуют.