В чем физический смысл процедуры перенормировки? Это какой-то математический фокус или неизвестные параметры квантовой системы?

Ни то и ни другое.

Квантовость здесь совершенно ни при чем, так как перенормировка применяется не только в квантовой электродинамике, но и в классических феноменологических системах.

Но и назвать это математическим фокусом можно тоже с очень большой натяжкой.

В глобальном смысле перенормировка основана на инвариантности масштабируемости пространства. Когда жила Эмма Нетер, она еще ничего не знала про перенормировку и поэтому в её теореме нет связи закона сохранения заряда с инвариантностью законов физики на разных масштабах. Теорема Нетер связывает три закона сохранения (энергии, импульса и момента вращения) со свойствами времени (однородность) и пространства (однородность и изотропность). И вот, наконец, нашлась связь между законом сохранения заряда и таким свойством пространства, как его инвариантность на разных масштабах.

Впервые физики-теоретики столкнулись с трудностями, связанными с масштабом пространства, когда обнаружили, что квантовая электродинамика дает удивительный результат: в центре электрона получается бесконечная плотность заряда электрона, но из экспериментов известно, что сам электрон имеет конечный заряд. Это выглядит очень похоже на дельта-функцию: она в нуле равна бесконечности, но интеграл от неё по всему пространству конечен. После чего стало понятно, что когда вы имеете дело с электроном, то нельзя электрон считать точкой, надо ограничится каким-то радиусом больше нуля.

Затем обнаружилось, что разные бесконечные суммы обычных квантовых полей в пространстве расходятся. Но вот что интересно, в физике твердого тела при квантовании полей (поля деформации (то есть звук), спиновые поля и др.) такой проблемы не было. Ведь в твердом теле суммирование идет не до бесконечности, так как есть предельный минимальный размер равный минимальной кристаллической ячейке. Поэтому, например, в прямоугольной коробке в стоячей электромагнитной волне будет бесконечно много мод колебаний (членов фурье-разложения), а в кристалле конечных размеров количество стоячих синусообразных волн фурье-разложения будет конечным.

Оказалось, что если применить "огрубление" масштаба в обычных квантовых полях в пространстве, то это никак не влияет на получаемые практические результаты, но устраняет расходимости. Это подтверждает инвариантность масштабируемости пространства.

Но самую выдающуюся революцию перенормировка сыграла в теории фазовых переходов. Сингулярности фазовых переходов давно уже смущали физиков. Было понятно, что феноменологические математические модели не работают в точках фазовых переходов. Сингулярности в реальности в физике никогда не существуют, они имеют место только в математических моделях, там, где эти модели становятся неприменимыми. Первый прорыв с помощью перенормировки был сделан в модели Изинга, когда оказалось, что около точки фазового перехода ферромагнитные блоки определенного масштаба ведут себя подобно ферромагнитным блокам другого более мелкого масштаба. А те, в свою очередь, подобно блокам еще более мелкого масштаба. И т.д. пока мы не приходим к самым маленьким блокам, то есть к отдельным спинам. Этот пример очень ярко выражает масштабную инвариантность природы.