По той же причине, по которой он был развит (да и сохранился во многом) в индийской мусульманской культуре и урду. Персия aka Иран была культурным центром исламского мира. Пожалуй, не будет преувеличением сказать, что эстетика мусульманского Востока в значительной степени имеет персидские корни. А фарси играл роль сравнимую с той, что в XVIII-XIX веках была в Европе у французского. Персидский был хорошо разработан, приятно звучит, достаточно простой для изучения.
Тут правда, есть интересный момент. В то время, как в империи Великих Моголов в Индии фарси был во главе угла, и даже использовался для государственных дел, в самом Иране к нему относились с некоторым пренебрежением, и, учитывая господство азербайджанцев с стране, предпочитали азербайджанский. Но это так, детали, не отменяющий влияние на турецкий и не только языки.
И да, письменность вообще-то арабская. Практически все мусульмане её использовали.