Вообще идеологема "Москва - третий Рим" была создана не царями и даже не с политической целью. Эта формула впервые была озвучена монахом Филофеем, старцем псковского Спасо-Елеазарова монастыря. И ее смысл был таким: Первый Рим изменил Православию, потому и был захвачен варварами. Второй Рим, пойдя на унию, тоже изменил Православию, потому и был захвачен мусульманами. Теперь в мире осталось только одно православное государство - Великое княжество Московское. И если оно изменит Православию, то падет, а за этим последует Страшный суд, потому что в мире больше не останется истинно христианских (православных) государств. И таким образом старец Филофей предупреждал Василия III, чтобы он не заигрывал с католиками и униатами, а соблюдал чистоту веры. То есть "Москва - третий Рим" - это про особую миссию Московского княжества (будущего царства) по спасению всего мира, про отодвигание даты конца света.
А политическое обоснование московского князя именоваться царем=императором шло совсем другими путями. Преемственность с Римской империей выстраивалась через "Сказание о князьях Владимирских", где была выдумана фальшивая генеалогия Рюрика как потомка брата императора Октавиана Августа. С Византией же преемственность выстраивалась через актуализацию биографии Владимира Мономаха и создание мифа о "шапке Мономаха", якобы переданной реликвии от императора Константина Мономаха.