Так-то, принципиальной разницы нет. Если, скажем, ученик или студент скажет "татаро-монгольское", а не "монголо-татарское", то никто не имеет права ему что-то записать в ошибку. Тут можно выделить два момента:
С одной стороны, когда впереди "татаро-", это вроде бы напрягает татар, которые, как известно, суть граждане РФ. (Хотя они же и Ордой и ханствами гордятся).
С другой же, монголы оказываются действительно первичнее татар. Бату Джучиевич сотоварищи этнически были представителями монгольских племён, как и основной костяк их войска. Так что нашествие вообще было монгольским, а иго поначалу - таковым же. (Почему их сразу же стали называть "татарами" - отдельный интересный вопрос, по которому у историков даже нет какого-то однозначного консенсуса; надо эту тему рассматривать отдельно). Но вскоре в образовавшемся огромном государстве Улус Джучи aka Золотая Орда произошло то же, что часто бывало во множестве империй. Завоеватели совершенно растворились среди местного покорённого населения. А это в основном были различные тюркские племена, те же половцы, что сыграли важную роль в этногенезе и культуре как крымских, так и казанских татар. Русские земли, как ни странно, в состав Золотой Орды не входили, а лишь находились в вассальной зависимости. Со временем, когда Ислам, тюркская культура и язык стали играть главную роль в жизни этой кочевой империи, а жители воспринимать её, что называется, как СВОЁ государство, можно уже говорить о "татарском" иге. Тащемто далее в Российской империи "татарами" называли все тюркские народы, что жили на развалинах Улуса Джучи, и даже практически всех тюрок вообще.