Всегда ли при нахождении остатка от деления в конце мы будем получать, что делимое будет сравнимо по модулю с a*(+-1)^k?

Вместо того, чтобы отвечать (это уже сделали), можно я вас покритикую, Алексей? Это плохой вопрос для математика. Почему?

1) у вас в вопросе есть а и k. Исходя из вашего примера, можно догадаться, что имеется ввиду натуральные основания степени а и степень k. Но только догадаться. Математик бы написал это в явном виде.

2) вы пишете a*(+-1)^k. Математик бы написал +-a

3) по итогам решения задачи, у вас возникла некая гипотеза. Вместо того, чтобы ее проверить, взять какие-нибудь однозначные натуральные числа, и тут же убедиться, что гипотеза не работает, вы пишите вопрос в Кью.