Что такое комплексные числа, и для чего они нужны?

Определений и свойств у комплексных чисел очень много, все не перечислишь. Я бы отметил такой аспект: комплексные числа можно понимать как алгебраическое замыкание вещественных чисел. Если по-просту, то это такая (минимальная!) система в которой все алгебраические уравнения разрешимы.

К примеру уравнение x^2-1 =0 не сложно решить над вещественными числами. Есть два корня, +1 и -1. А вот решить уравнение x^2+1 = 0 уже над вещественными числами нельзя. Но если мы добавим "искусственный элемент" i, т.е. такое число, которое по определению i^2=-1, то уже все квадратные уравнения станут разрешимы (следует из школьной формулы для решения квадратных уравнений). Более продвинутые граждане найдут по формуле Кардано решения для уравнений 3-й степени, а также уравнения 4-й степени по формуле Феррари.

Но есть теорема (основная теорема алгебры), что в виде a+ib у любого алгебраического уравнения можно найти по меньшей мере одно решение. И, более того, всего таких решений (с учётом кратности) будет ровно n.

"С учётом кратности" значит, что скажем у уравнения (x-1)^n =0 есть корень 1, который встретился n раз. То есть имеет кратность n.