Для чего они нужны?
Если вопрос в применении в быту, то не нужны. Как и не нужны многие другие сложные математические формы (логарифмы, радикалы, ...) . Ибо в жизни нам не нужны сложные переходы, мы и функции используют только интуитивно – вы параболу не рассчитываете по формуле, кидая предмет, вы просто используете знание траектории полёта и её зависимости от угла и силы. По крайней мере, я математик по образованию, но не могу придумать способа применения комплексных чисел.
А так, они используются например в физике, в частности, в волновых явлениях.
Или вот это, что настолько совершенно и прекрасно, ради чего стоило бы возводить храмы и поклоняться как к совершенному первоначалу всего, взирая и ожидая откровения:
Примерно для того же, для чего нужны отрицательные, а так же иррациональные и рациональные - чтобы ловко и умело решать всякие задачи, которые не решаются в простых и умозрительные натуральных числах.
Комплексные числа нужны для описания тех процессов, которые мы не "видим". Допустим, как ток течет в электрической цепи, как он проходит через разные сопротивления, конденсаторы и тд.