Что такое комплексные числа, и для чего они нужны?

Для чего они нужны?

Если вопрос в применении в быту, то не нужны. Как и не нужны многие другие сложные математические формы (логарифмы, радикалы, ...) . Ибо в жизни нам не нужны сложные переходы, мы и функции используют только интуитивно – вы параболу не рассчитываете по формуле, кидая предмет, вы просто используете знание траектории полёта и её зависимости от угла и силы. По крайней мере, я математик по образованию, но не могу придумать способа применения комплексных чисел.

А так, они используются например в физике, в частности, в волновых явлениях. 

От себя добавлю, что i^2 просто приравнивать к -1 и считать это его значимостью, я считаю, не очень правильно. Сама красота комплексных чисел раскрывается в её участии в формулах, в цепочках преобразований. Например, вы только посмотрите на эту прекрасную связь показательной и тригонометрической функции:

Или вот это, что настолько совершенно и прекрасно, ради чего стоило бы возводить храмы и поклоняться как к совершенному первоначалу всего, взирая и ожидая откровения: