Обозначим sin(x) = t, t ∈ [-1, 1]. Тогда уравнение переписывается в виде
t^18 + (a - 5t)^9 + t^2 + a = 5t
Дальше преобразования:
t^18 + t^2 = 5t - a - (a - 5t)^9
t^2 + t^18 = (5t - a) + (5t - a)^9
Функция f(p) = p + p^9 монотонно возрастает на [-1, 1]. Значит, уравнение
f(t^2) = f(5t - a)
равносильно уравнению
t^2 = 5t - a
t^2 - 5t = a
Итак, осталось найти все такие a, при которых последнее уравнение имеет хотя бы один корень, лежащий на [-1, 1]. Поскольку на этом промежутке левая часть убывает, то искомые a составляют отрезок [-4, 6].