Теперь Кью работает в режиме чтения

Мы сохранили весь контент, но добавить что-то новое уже нельзя

Найдите все значения a, при которых уравнение ниже имеет хотя бы одно решение ?

Будем обозначать sin^k(x) = (sin(x))^k
sin^18(x) + (a - 5*sin(x))^9 + sin^2(x) + a = 5*sin(x)
Помощь - эту задачу можно решить используя монотонность определенной функции. Вопрос относится к классике жанра.
Борис Державец
  ·   · 381
Лучший
Студент ВМК Московского Государственного Университ...  · 26 окт 2021
Обозначим sin(x) = t, t ∈ [-1, 1]. Тогда уравнение переписывается в виде
t^18 + (a - 5t)^9 + t^2 + a = 5t
Дальше преобразования:
t^18 + t^2 = 5t - a - (a - 5t)^9
t^2 + t^18 = (5t - a) + (5t - a)^9
Функция f(p) = p + p^9 монотонно возрастает на [-1, 1]. Значит, уравнение
f(t^2) = f(5t - a)
равносильно уравнению
t^2 = 5t - a
t^2 - 5t = a
Итак, осталось найти все такие a, при которых последнее уравнение имеет хотя бы один корень, лежащий на [-1, 1]. Поскольку на этом промежутке левая часть убывает, то искомые a составляют отрезок [-4, 6].
a(t) = 5t - t^2 ; a(t) возрастает на [-1;1] , но сути дела это не меняет.
Увлекаюсь естественными науками и математикой...  · 26 окт 2021
Можем переписать равенство в виде sin^18(x)+ sin^2(x)=(5*sin(x)-a)^9+5*sin(x)-a. Интуиция подсказывает, что решения находятся пока возможно равенство 5*sin(x)-a=1, и граничные значения при sin(x)=-1 соответствуют a=-6, при... Читать далее