По льду (без трения) скользила доска длиной L. Вектор скорости направлен строго вдоль длины доски. В некоторый момент доска заехала на асфальт. Коэффициент трения пары дерево-асфальт пусть будет равен Mu. Рассчитать время торможения доски, если известно, что в момент остановки часть доски еще оставалась на льду.
Я не физик, потому воспользуюсь лишь формулой силы трения скольжения F=Mu*m*g. При этом в решении нужно учитывать лишь ту часть массы доски, которая уже заехала на асфальт.
Значит, сила, останавливающая нашу доску равна: F(t) = x(t)/L*Mu*m*g, где x(t) - это длина доски, успевшая заехать на асфальт в момент времени t.
Отсюда легко найти ускорение, действующее на доску массы m: a(t) = -x(t)*Mu*g/L. Масса сократилась, хорошо. Минус, потому как ускорение противоположено направлению движения.
Ускорение - есть не что иное, как вторая производная от перемещения по времени, значит имеем дело с дифференциальным уравнением:
x''(t) + x(t) * Mu * g / L = 0
Характеристическое уравнение для этого диффура: l^2 = -Mu * g / L, имеет
два комплексных корня, отсюда решение диффура имеет вид:
x(t) = C1*cos(sqrt(Mu * g / L)*t) + C2*sin(sqrt(Mu * g / L)*t)
Так как нас интересует лишь время торможения, то нулевым моментом времени считаем момент касания асфальта: x(0) = 0. Используя это ограничение, избавляемся от косинуса.
x(t) = C*sin(sqrt(Mu * g / L)*t)
Коэффициент C нам не известен, но искать его даже и не будем. Нам ведь нужен момент остановки доски, когда: x'(t) = 0. Возьмём производную:
x'(t) = sqrt(Mu * g / L)*C*cos(sqrt(Mu*g/L)*t)=0
Вариант с нулевым C нас не интересует, так что остаётся уравнение
cos(sqrt(Mu*g/L)*t)=0
отсюда
sqrt(Mu*g/L)*t = pi/2
и тогда
t = pi/(2*sqrt(Mu*g/L))
А это и есть решение задачи.