Подозреваю, что надо рассмотреть рациональные числа на гиперболе, но не знаю, как это сделать, поэтому решим "в лоб".
В двухзначных числах наибольшее число 99 (делитель 11), даже не интересно (рассматриваем отношение двухзначных и однозначных чисел).
Рассмотрим трехзначные числа, т.е. рассмотри отношение трехзначных и двухзначных чисел (если потребуется пойдем в четырехзначные, т.е. будем рассматривать отношения четырехзначных и трехзначных чисел).
Вообще делителей конечное число от 2 до 99, но здесь проявляется гипербола и рассматривать надо до 31 (как выяснилось даже этого не потребуется, т.к. закономерность на лицо).
Частные (двузначное число) от деления на числа от 2 до 8 (делитель), растут очень быстро, даже начинается с неподходящих чисел для делимого трехзначного числа.
Например, возьмем делитель 8, первое число которое делится на 8 - 352, а частное 44, т.е. уже не подходит, т.к. все остальные двузначные частные больше.
Рассмотрим делитель 9. Здесь есть несколько подходящих частных 25 (делимое 225), 35 (делимое 315) и 45 (делимое 405), дальше проявляется противоречие любое из двух чисел, которые должны быть единицами в частном, после вычеркивания, меньше, чем единицы у частного, которое получается.
Например, делим 234 на 9 получаем 26, и 3 и 4 меньше, чем 6.
Очень хорошее частное 10, но по условию задачи его использовать нельзя.
Переходим к 11. Здесь очень много подходящих частных, но проявляется другая закономерность. Для каждого десятка частных количество подходящих частных уменьшается на единицу при увеличении на единицу десятка.
Например, для чисел от 21 до 29 - 7 подходящих частных, для чисел от 31 до 39 - 6 подходящих частных и т.д. для чисел от 81 до 89 - одно подходящее частное и наконец для чисел от 91 до 99 - ни одного, из чего следует, что в четырехзначных числах для делителя 11 подходящих частных также не будет.
Наибольшее число здесь 891, частное 81, видимо, оно же искомое наибольшее число, т.к. уже для делителя 12 мы наблюдаем медленный рост частных, т.е. обратная картина по отношению к делителям меньше 9.
Следовательно подходящими делителями являются 11, 10 и 9. 10 использовать нельзя по условию, 9 имеет всего три подходящих частных, а для 11 подходящие частные кончаются на числе 81.