Почему система вложенных интервалов может не иметь общей точки?

Если Вы не против, я бы предпочёл ответить на более общий вопрос, частным случаем которого является Ваш вопрос. Андроник Арамович, как мне кажется, ответил на Ваш вопрос, но неточно сформулировал теорему о вложенных шарах. Из неё, в частности, вытекает, что в полном метрическом пространстве любая последовательность вложенных замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение. Более того, это пересечение - единственная точка. Когда я изучал эту тему, мой учитель задал мне вопрос: можно ли ослабить это утверждение? В частности снять требование:

а) замкнутости,

б) вложенности,

в) стремления радиусов к нулю?

Имеется в виду, если в полном метрическом пространстве рассмотреть последовательность шаров, которая обладает ровно двумя свойствами из трёх, то можем ли мы гарантировать непустое пересечение? Пример, приведённый Андроником Арамовичем (система вложенных стягивающихся интервалов) показывает, что от условия а) отказаться нельзя. Пример, показывающий, что от условия б) тоже нельзя отказаться, лежит на поверхности. А вот построение примера, показывающего существенность условия в), нетривиально.

Иными словами, существует ли последовательность вложенных замкнутых шаров в полном метрическом пространстве, имеющая пустое пересечение? Да, существует, хотя это, как может показаться, противоречит интуиции. А вот в полных нормированных пространствах таких примеров уже нет. Я это воспринимаю как различие между нормой и метрикой: норма - более привычное понятие. В нормированных пространствах наша интуиция работает более надёжно, чем в метрических пространствах, обладающих более высокой степенью абстракции.