Почему система вложенных интервалов может не иметь общей точки?

Рассмотрим систему вложенных интервалов { (a[n], b[n]) } - (здесь и далее n - натуральное, n=1, n=infty,). Составим из этой системы два непустых множества: A = {a[n]},  B = {b[n]}.

Известно, что для всех n, m - натуральные верно следующее (из определения вложенных интервалов):

(a[n+m], b[n+m]) является подмножеством (a[n], b[n]). То есть, 

a[n] < a[n+m] <b [n+m] < b[n]. Откуда делаем вывод, что каждое а прин. А и каждое b прин. В: a < b (!)

Допустим обратное, система вложенных интервалов имеет общую точку.

Зададим интервал так, b[n] = a[n] + e (e - очень маленькое число) (1)

(иными словами, b[n] - a[n] = e, где е ->0)

Такая система по определению будет сходящейся, так как каждый интервал с новым шагом "откалывает" точку (некое значение) на числовой прямой (а значит, каждый последующий интервал строго меньше предыдущего). Из определения сходящихся вложенных интервалов: для всякого сколь угодно малого e>0 найдется такое n - натуральное, что b[n] - a[n] < e (!).

Получили противоречие с (1), следовательно, наше предположение не верно, а верно то, что система может не иметь общей точки.