В соответствии с алгоритмом "Решета Эратосфена", проверяя последовательные простые, меншие "пола по Кнуту" = целой части от корня квадратного из 100, то есть проверяя делимость 101 на , последовательно, 2,3,5наконец, на 7 (следующее простое 11 даст в квадрате 121 > 101), убеждаемся, что 101 - простое (натуральное = целое рациональное = не гауссово, мы - исключительно внутри действительной оси, в плоскость не выходим! - Л.К.).
Теперь применим теорему Вильсона: см. где угодно, например, любимый мною Леопольд Яковлевич Окунев (кстати, не только прямой ученик О.Ю Шмидта по алгебре, но и криптограф-профи):
Целые комплексные числа.
М.: Вузовская книга, 2014.
Раздел 6. Малая теорема Ферма. Теорема Вильсона.
Стр. 42.
Отсюда 100! + 1 кратно 101, поскольку 101 простое.
Теперь воспользуемся общеизвестной формулой Лежандра для показателя вхождения 101 в каноническое разложение (произведения примарных) для 100! +1. Покажем, что этот показатель есть в точности 1.
И, действительно, целые части ("полы Кнута"обозначением прямоугольными скобками загнутыми снизу вовнутрь с пробелом) для чисел (100 +1) / 101,…, (101 + 100) / 101 совпаают и равны в точности 1.
Вывод: нашлось простое в каноническом разложении нашего первоначально пред'явленного числа, входящее с нечётнвм показателем. А именно число 101 с соответствующим показателем, равным 1.
Стало быть и исходное число 100! + 1 не есть квадрат.
Примечание: указанное решение требует доработки в применении формулы Лежандра (впрочем, "пол от" дроби 101 / квадрат числа101 или 101 / 10201, я умножил столбиком 101 на себя Л.К.) этот "пол Кнута" равен нулю, как и все "промежуточные по числителям" полы Кнута равны нулю. И только первый член работает для самого простого 101, а 101! много более, чем 100! + 1.
Впрочем, это всё прикидочно, дыряво, но, имхо, "доводибельно до ума"!
Л.К.