Это т. н. свойство дистрибутивности (по-школьному — распределительность) умножения относительно сложения.
Доказательство будет зависеть от того, что́ положено в основу рассуждений, то есть от первоначальных положений — аксиом.
На более-менее простом и достаточно строгом уровне изложения поступают так.
- Доказывают это свойство для натуральных чисел.
1.1. В основу кладут аксиомы Пеано — интуитивно понятные утверждения.
1.2. На данном множестве определяют, что такое операции сложения и умножения, от которых требуют выполнения двух (опять же, интуитивно понятных) условий.
1.3. Используя 1.1, строят эти операции.
1.4. Используя 1.1 и 1.3, доказывают их свойства, включая дистрибутивность.
В каком-то смысле эти свойства "вшиты" в построение операций.
- А дальше на основе натуральных чисел поэтапно строят всё более широкие множества чисел, "по дороге" доказывая эти свойства и для них. В конце концов, доходят и до многочленов, о которых вы спрашиваете.
Насколько я понимаю, первым, кто реализовал этот план, был Э. Ландау в своей книге "Основы анализа". Но она достаточно сложна для восприятия с первого раза. Из того, что известно мне, наиболее удачная — книга И. В. Проскурякова
"Числа и многочлены", глава 3. В ней то же построение, только описанное более живым языком.