Актуальна ли теория пар натуральных чисел?

А. У меня нет кинижки проф. Арнольда Игоря Владимировича, отца покойного академика В.И. Арнольда, известного математика, закрывшего в студенческие годы одну из 23 задач гильбертовского списка (А.Н. Колмогоров. Последнее интервью. Помещено в ряде источников и специальных книг).

И.В. был педагогом-математиком, кажется, членом нынешней РАО = Российской Академии Образования = тогдашней Акапедии = Академии педнаук, доктором именно педагогики, а не математики, можно уточнить.

В. Книжка уехала вместе с проф. Клином Михаилом

Хаимовичем (учеником по Киеву проф. Калужнина Льва Аркадьевича, тамошнего алгебраиста, числовика -любителя и матлогика, интересного человека, о нём надо особо) в Беэр Шеву в университет имени Бен Гуриона, как говорится, с концами. Мне она показалась занудной и малодоступной по временной протяжённости, лень было тратиться на математическую, как я считал, банальщину. Клину что-то надо было читать по дисциплине "Числовые системы", кажется, в калужском педе тогдашнем. Дело было давно.

С. Построение содержательной аксиоматической теории целых чисел происходит вначале путём предварительного построения аналогичной теории по Пеано натурального ряда (без нуля или с нулём - не особо это важно). Затем вводится множество упорядоченных пар из натуральных чисел (упорядоченная пара есть пара с отмеченным элементом или есть множество вида {{a}, {a,b}} по Казимиру (Казимежу) Куратовски(-ому), где a и b суть не обязательно между собой различные в данном случае натуральные - см. ниже раздел Е). После чего класс эквивалентных пар об'является по совпадению разности b - a в двух взятых парах, и по транзиту мы "замыкаем" именно это совпадение. При этом, приравнивая разности, допустим, в первоначальной и "штрихованной" паре, мы можем перенести члены со знаком "минус" в противоположные концы - стороны равенства, избавляясь от минусов и трактуя эквивалентные пары (подчёркиваю, натуральных по Пеано) равенством исключительно с плюсами. Что нам необходимо, покуда Пеановская система имеет операцией лишь сложение (и производное умножение - есть в  жёлтом Фрейдентале в виде брошюры для чтения - вот кого я перечитываю - Ганс Фрейденталь "Математика в науке и вокруг нас").

D. У нас в ленпеде курс "Числовые системы" вёл криптограф из спецотдела Стекловки Нечаев Василий Ильич, затем он составил учебник, по этой книжке, кажется, даже стал именно по ней доктором. Лекции его были откровенно слабыми. Учебник - тоже [да простит мне моя бывшая Коллега госпожа Деза /  Лена (= Елена Ивановна) Пантелеева, ученица В.И.]. Семинары вела тогдашняя молодая "кандидатша", защитившаяся у Бухштаба по одной занудной задаче Чудакова - госп. Степанова Лидия Леонидовна. Оченно партийная (КПСС), конечно же - жёстко против "израильской военщины". В Перестройку или сразу после эмигрировала с мужем - евреем в Израиль, где и скончалась от скоротечного рака.

На семинарах она откровенно "плыла", держа перед собой первоначально ротапринтно изданные нечаевские лекции.

Но требовала по капээсэсному сурово и даже оченно. Так что кое-что я запомнил. А теперь, благодаря Вопросу господина инженера и вспомнил.

Е. Про теорию упорядрченных пар как пар с отмеченными (условно первыми) элементами в духе Акад Куратовски (с его многолетним секретарём и ассистентом общаюсь и поныне - Л.К.) - см. вот здесь:

Дорофеев (незабвенный Георгий Владимирович, но о нём в другой раз! - Л.К.)

Строгость определения математических понятий с методической точки зрения.

Математика в школе, 1984, номер 3, стр. 56 - 60, по счастью есть в сети здесь:

F. А пары, "куды ж от их подевАтьси"? (ритор вопр) - они, сердешные, суть необходимый и совершенно стандартный приём расширения числовой системы. Не более чем. Ровно как и для введение понятия соответствия, Уже - понятия отношения (правда шире, чем понятие алгебраической операции). Основа "бурбакистского структурализма".

Впрочем, это уже напоминает Хрущёва Н.С. на выставке абстрактной живописи, и надо закругляться.

Что и осуществляю с удовольствием. Вот именно так.

Л.К.