Докажите, что в такой ситуации X разбито в объединение непересекающихся классов эквивалентности.
Определение 2.3
Пусть (X, ~) - множество, снабженное отношением эквивалентности. Классом эквивалентности элемента x є X называется множество всех y є X, для которых x ~ y. Представителем класса S называется любой элемент x є X, лежащий в этом классе.
Товарищи, а как это непересекающихся? Если рассматривать элемент x є X такой что x ~ y и y ~ z, то в силу транзитивности вытекает x ~ z. Таким образом, классы эквивалентности элементов x и y пересекаются, хотя-бы один представитель совпадает ( в данном случае z)
Имеется в виду следующее. Множество X разбивается на непересекающиеся подмножества, и каждое подмножество это свой класс эквивалентности.
Например на множестве целых чисел введем отношение эквивалентности так: два числа назовем эквивалентными, если они имеют одинаковую четность. То есть 2~4, 5~7 и так далее. Тогда у нас два (непересекающихся) множества: четные и нечетные числа. И каждое из них — свой класс эквивалентности.
Аналогично, конечно, можно ввести отношения эквивалентности по остатку от деления на любое число.
Это значит, что классы либо не пересекаются, либо совпадают. Проще говоря, они не могут пересекаться "частично".
В приведённом Вами примере они совпадают.
Классы либо не пересекаются вовсе , то есть не имеют общих элементов.
Либо по транзитивности совпадают: сливаются в один-единственный "в экстазе", чуть было не написал, "в экстэзи", что запрещено законом (к употреблению).
Подроб... Читать далее
Да, поднял (не "с колен", а с книжной полки) и пишу здесь:
Кострикин А.И.
Введение в алгебру.
М.: Издательство... Читать дальше