Есть ли способ или формула, или алгоритм, который поможет задать функцию, которая задаёт множество значений вершины параболы? 🤓

Разумеется. (В рамках школьной алгебры)

Вершина параболы это точка экстремума (если парабола ветвями направлена вверх, то это минимум функции, если вниз- максимум)

Как это делал бы ученик старших классов (с вероятностью больше 90%), как для любой другой задачи на поиск экстремума, он бы взял бы производную, приравнял к нулю, и получил координату x, потом подставил найденную координату x для вершины параболы и нашёл координату y.

А как решить эту реальную олимпиадную задачу для средней школы? 

(текста не бойтесь, я стараюсь писать больше пояснений, и показываю ход рассуждений)

В школе давалось доказательство формулы для корней квадратного уравнения, на нём преподаватели обычно не акцентируют внимание, так как оно не входит в программу экзаменов, и считается достаточным просто зазубрить правильные формулы. Тем не менее польза от знания этого метода есть, и он может использоваться в некоторых задачах(в том числе если вдруг забудете формулу корней, её легко вывести). 

И так, у нас имеется

ax^2+bx+c, 

Мы умеем искать корни только вида v^2=t.

Наша задача исхитриться и сделать так, чтобы ax^2+bx, спрятались в этот самый квадрат.  и функция приняла вид: p(x+q)^2+r

ax^2+bx+c , вынесем "а" за скобку. (поясним, что "а" не равно нулю, так как по определению квадратного трёхчлена в него должен входить квадрат аргумента, потому делить на "а" мы имеем полное право)

a(x^2+(b/a)x+c/a), из формул сокращённого умножения мы знаем, что (x+t)^2=x^2+2t+t^2, таким образом, чтобы свернулась наша формула нам нужно

a(x^2+2(b/(2a))x+(b/(2a))^2-(b/(2a))^2+c/a) , мы коэффициент при х в первой степени умножили и разделили на два,  а также прибавили и вычли квадрат половины коэффициента при икс в первой степени, теперь видно что первые три слагаемые образуют в точности полный квадрат и сворачиваем его по формулам сокращённого умножения.

a[(x+b/{2a})^2-(b/(2a))^2+c/a]=a(x+b/{2a})^2-b^2/(4a)+c

теперь у нас с вами есть просто иная форма записи, ровно той же самой параболы, что была в начале,  ведь в процессе преобразования мы не делали совершенно никаких предположений(единственное сомнительное преобразование это деление на а, право на которое мы показали). 

При этом функция в таком виде выглядит как "некое число"*"квадрат выражения от икс,  при любых икс квадрат скобки всегда больше или равен нулю"+ "некоторое число"

Легко заметно, что если а>0, то минимум этой функции достигается тогда, когда квадрат выражения в скобках достигнет минимума, а значит равно нулю(ведь меньше нуля быть не может). и наоборот, при а<0, парабола направлена ветвями вниз, и вершина является максимумом, который будет достигнут также при обнулении значения в скобках(отрицательное число * на не отрицательно всегда будет не положительным). 

то есть координата x вершины параболы(при любом, не нулевом а) это условие x+b/(2a)=0, или x=-b/(2a)

координата "y" вовсе очевидна, ведь мы изначально ищем вершину в точке, где выражение в скобках есть ноль, а значит остаётся только [-b^2/(4a)+c]