Почему синус от аргумента всегда(кроме случая x=0) меньше аргумента?
Возможно, я плохо искал, однако мне не удалось найти ответа на свой вопрос в привычных местах. Естественно, речь идёт об общем случае, а не о граничных, в которых это вполне очевидно. Я понимаю, что это, скорее всего, доказывается через окружность, однако почему-то не могу провести рассуждения, которые после понимания этого почти наверняка покажутся тривиальными. Заранее спасибо
МатематикаТригонометрия
Ну и напридумывали ответов, аж до рядов дошли)). Все просто.Из определения синуса через единичную окружность. Синус -отрезок AP, аргумент -дуга PB. Что больше, хорда или дуга? (здесь полхорды и полдуги)
2 эксперта согласныи1 эксперт не согласен
Сергей Чабовский
13 окт 2022возражает
sin x > x всегда при x < 0, x ∈ ℝ.
@Сергей Чабовский, естественно, автора вопроса интересовал промежуток от 0 до 1. На остальных это очевидно. Да, следовало бы об этом упомянуть
Александр Рябцев
23 апр 2022подтверждает
Для школьника этого более чем достаточно - ему совершенно понятно, что есть кратчайшее расстояние между двумя точками.
Хорда PB меньше дуги PB, но этого пока не достаточно, можно, скажем ещё теорему Пифагора привлечь, или как данность использовать, что в прямоугольном треугольнике APB гипотенуза PB всегда больше катетов, то есть она больше катета PA.
sin(a)=PA<PB(хорда)<PB(дуга)=a
(а где и зачем тут полхорды и полдуги?)
@Максим Лапиков, Да, так тоже можно доказать. Я несколько по другому
На всякий случай сразу оговоримся, что аргумент синуса выражен именно в радианах.
Вспомним, что такое угол в радианах, угол в радианах это "длина дуги единичной окружности на которую опирается угол" (есть разные эквивалентные... Читать далее
Маклореновский ряд в нуле из первых двух членов с остатком по Лагранжу не пробовали смотреть при малых, но... Читать дальше
Потому, что синус, как и косинус по определению это проекции единичного вектора на координатные оси. В этой метрике проекция прямая и не может быть больше объекта, ее создающую.
Вадим Романский
23 апр 2022возражает
более, этого, это переформулировка другого вопроса - "почему синус меньше 1", а не почему меньше х
Разложение синуса в ряд Тейлора (х - в радианах):
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + …
Как видите, каждый следующий аргумент меньше предыдущего, таким образом синус от аргумента становится меньше самого аргумента (по... Читать далее
1 эксперт согласени3 эксперта не согласны
Максим Лапиков
13 апр 2022возражает
Подставляю x=10^3 и вижу что это не так.
Потому-что синус есть отношение катета к гипотенузе. А катет всегда меньше гипотенузы, что ещё древние греки знали, называя своими именами аксиомы и теоремы геометрии.
3 эксперта не согласны
Максим Лапиков
13 апр 2022возражает
Аргумент синуса в рассуждениях вообще никак не участвует. В лучшем случае показано, что sin(a)<=1