Почему синус от аргумента всегда(кроме случая x=0) меньше аргумента?
Возможно, я плохо искал, однако мне не удалось найти ответа на свой вопрос в привычных местах. Естественно, речь идёт об общем случае, а не о граничных, в которых это вполне очевидно. Я понимаю, что это, скорее всего, доказывается через окружность, однако почему-то не могу провести рассуждения, которые после понимания этого почти наверняка покажутся тривиальными. Заранее спасибо
МатематикаТригонометрия
Ну и напридумывали ответов, аж до рядов дошли)). Все просто.Из определения синуса через единичную окружность. Синус -отрезок AP, аргумент -дуга PB. Что больше, хорда или дуга? (здесь полхорды и полдуги)
2 эксперта согласныи1 эксперт не согласен
Сергей Чабовский
13 окт 2022возражает
sin x > x всегда при x < 0, x ∈ ℝ.
@Сергей Чабовский, естественно, автора вопроса интересовал промежуток от 0 до 1. На остальных это очевидно. Да, следовало бы об этом упомянуть
Александр Рябцев
23 апр 2022подтверждает
Для школьника этого более чем достаточно - ему совершенно понятно, что есть кратчайшее расстояние между двумя точками.
Хорда PB меньше дуги PB, но этого пока не достаточно, можно, скажем ещё теорему Пифагора привлечь, или как данность использовать, что в прямоугольном треугольнике APB гипотенуза PB всегда больше катетов, то есть она больше катета PA.
sin(a)=PA<PB(хорда)<PB(дуга)=a
(а где и зачем тут полхорды и полдуги?)
@Максим Лапиков, Да, так тоже можно доказать. Я несколько по другому
Вот, так теперь понятно и хорошо.
Действительно красивое решение.
Просто по тексту было не ясно, что PA нужно было продлить до хорды. Если редактировать можете, то поменяйте пожалуйста в начальном ответе иллюстрацию.
До чего же прелестная картина! Два взрослых эксперта поняли друг друга со второго раза! Теперь отчаянно болеем за школьника!
Господа хорошие, не кажется ли вам, что это как раз вы все слишком усложнили?
Мое решение в 1 строчку занимает 2 см,
и даже 4-классник вполне поймет, что больше:
(x) или (x минус что-то)
А объяснять ему про радианы и синусы вы несколько раз вспотеете!
UPDATE:
Извините, меня чего-то на смех уже пробивает под вечер:
2 эксперта не поделили 2 хорды и дуги, но потом поделили их на 2 полухорды и полудуги. А еще - полуотрезок. И все это с буковками :)))
UPDATE:
Еще раз извините, я тут дал почитать эту ветку, у нас уже первый ржач прошел. Продолжайте, пожалуйста, больше не буду вам мешать :)
UPDATE:
Максим, смеха ради спрошу: А у вас есть педагогический стаж?
ещё раз.
то что вы называете "доказательством", содержит в себе логические ошибки, без исправления которых "доказательство" является ошибочным.
в том числе логика уровня
(x-a)<x => x-a+b<x
в минимально приличном математическом сообществе не приемлема.
@Максим Лапиков, Я промежуточные действия опускал, думал, и так все понятно))
@Alex_soldier, четвероклассник ничего не поймет. Он не знает, что такое ряды. Я не говорю уже про степени и факториалы
@Максим Лапиков, еще доказательство придумал, но уже с производными. Функции y=x и y=sin x на участке 0-π/2 монотонные. В точке 0 они равны. Рассмотрим, как они дальше будут расти. Производная от y=x равна 1, от y=sin x равна cos x т е меньше единицы на указанном участке. Следовательно, линейная функция "растет" быстрее и будет больше синуса.
@Дмитрий Иванов,
Да, это тоже вполне очевидный подход, что называется "на пальцах" синусоида после нуля сразу начинает загибаться ниже прямой y=x, и скорость роста никогда не превысит единицы, строго это легко показать используя теорему лагранжа.
Да, это тоже вполне очевидный подход, что называется "на пальцах" синусоида после нуля сразу начинает загибаться ниже прямой y=x, и скорость роста никогда не превысит единицы, строго это легко показать используя теорему лагранжа.
@Дмитрий Иванов, я говорил вам, что вы - молодец?
Так вот, вы - дважды молодец!
Вы совершили маленькое чудо: после общения с вами у Максима начали включаться мозги!
Он умнеет! (фраза Охлобыстина из сериала "Интерны" про Лобанова)
--
Господа, я действительно рад, что вы двинулись далее анализировать вопрос. Уже предчувствую, что вскоре вы достигнете "Просветления" и придете к моему элегантному решению! Главное - не останавливайтесь на полпути!
@Alex_soldier, простите, Ваше решение элегантным назвать сложно. Оно совершенно ненаглядно и требует знаний по матану на уровне студента первого курса технического вуза.
@Максим Лапиков, зачем такие сложности с теоремой Лагранжа? Мы и так знаем, что косинус по определению никогда не превысит единицу. А на указаном участке он ей равен только в начальной точке 0
На всякий случай сразу оговоримся, что аргумент синуса выражен именно в радианах.
Вспомним, что такое угол в радианах, угол в радианах это "длина дуги единичной окружности на которую опирается угол" (есть разные эквивалентные... Читать далее
Маклореновский ряд в нуле из первых двух членов с остатком по Лагранжу не пробовали смотреть при малых, но... Читать дальше
Потому, что синус, как и косинус по определению это проекции единичного вектора на координатные оси. В этой метрике проекция прямая и не может быть больше объекта, ее создающую.
Вадим Романский
23 апр 2022возражает
более, этого, это переформулировка другого вопроса - "почему синус меньше 1", а не почему меньше х
Разложение синуса в ряд Тейлора (х - в радианах):
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + …
Как видите, каждый следующий аргумент меньше предыдущего, таким образом синус от аргумента становится меньше самого аргумента (по... Читать далее
1 эксперт согласени3 эксперта не согласны
Максим Лапиков
13 апр 2022возражает
Подставляю x=10^3 и вижу что это не так.
Потому-что синус есть отношение катета к гипотенузе. А катет всегда меньше гипотенузы, что ещё древние греки знали, называя своими именами аксиомы и теоремы геометрии.
3 эксперта не согласны
Максим Лапиков
13 апр 2022возражает
Аргумент синуса в рассуждениях вообще никак не участвует. В лучшем случае показано, что sin(a)<=1