Почему синус от аргумента всегда(кроме случая x=0) меньше аргумента?

@Сергей Чабовский, естественно, автора вопроса интересовал промежуток от 0 до 1. На остальных это очевидно. Да, следовало бы об этом упомянуть

@Максим Лапиков, Да, так тоже можно доказать. Я несколько по другому

@Дмитрий Иванов, 

Вот, так теперь понятно и хорошо.

Действительно красивое решение.

Просто по тексту было не ясно, что PA нужно было продлить до хорды. Если редактировать можете, то поменяйте пожалуйста в начальном ответе иллюстрацию.

До чего же прелестная картина! Два взрослых эксперта поняли друг друга со второго раза! Теперь отчаянно болеем за школьника!

Господа хорошие, не кажется ли вам, что это как раз вы все слишком усложнили?

Мое решение в 1 строчку занимает 2 см,

и даже 4-классник вполне поймет, что больше:

(x) или (x минус что-то)

А объяснять ему про радианы и синусы вы несколько раз вспотеете!

UPDATE:

Извините, меня чего-то на смех уже пробивает под вечер:

2 эксперта не поделили 2 хорды и дуги, но потом поделили их на 2 полухорды и полудуги. А еще - полуотрезок. И все это с буковками :)))

UPDATE:

Еще раз извините, я тут дал почитать эту ветку, у нас уже первый ржач прошел. Продолжайте, пожалуйста, больше не буду вам мешать :)

UPDATE:

Максим, смеха ради спрошу: А у вас есть педагогический стаж?

@Alex_soldier,

ещё раз.

то что вы называете "доказательством", содержит в себе логические ошибки, без исправления которых "доказательство" является ошибочным.

в том числе логика уровня

(x-a)<x => x-a+b<x

в минимально приличном математическом сообществе не приемлема.

@Максим Лапиков, Я промежуточные действия опускал, думал, и так все понятно))

@Alex_soldier, четвероклассник ничего не поймет. Он не знает, что такое ряды. Я не говорю уже про степени и факториалы

@Максим Лапиков, еще доказательство придумал, но уже с производными. Функции y=x и y=sin x на участке 0-π/2 монотонные. В точке 0 они равны. Рассмотрим, как они дальше будут расти. Производная от y=x равна 1, от y=sin x равна cos x т е меньше единицы на указанном участке. Следовательно, линейная функция "растет" быстрее и будет больше синуса.

@Дмитрий Иванов,
Да, это тоже вполне очевидный подход, что называется "на пальцах" синусоида после нуля сразу начинает загибаться ниже прямой y=x, и скорость роста никогда не превысит единицы, строго это легко показать используя теорему лагранжа.

@Дмитрий Иванов, я говорил вам, что вы - молодец?

Так вот, вы - дважды молодец!

Вы совершили маленькое чудо: после общения с вами у Максима начали включаться мозги!

Он умнеет! (фраза Охлобыстина из сериала "Интерны" про Лобанова)

--

Господа, я действительно рад, что вы двинулись далее анализировать вопрос. Уже предчувствую, что вскоре вы достигнете "Просветления" и придете к моему элегантному решению! Главное - не останавливайтесь на полпути!

@Alex_soldier, простите, Ваше решение элегантным назвать сложно. Оно совершенно ненаглядно и требует знаний по матану на уровне студента первого курса технического вуза.

@Максим Лапиков, зачем такие сложности с теоремой Лагранжа? Мы и так знаем, что косинус по определению никогда не превысит единицу. А на указаном участке он ей равен только в начальной точке 0

@Дмитрий Иванов, увы, но похоже у вас преобладает гумманитарный склад ума. Вам что-то объяснять лучше по картинкам, как я уже писал выше :)

@Дмитрий Иванов, 

Я имел ввиду, что ваше графическое объяснение, скорее всего, использует в скрытой форме теорему Лагранжа.

Если на экзамене к вам возникнет дополнительный вопрос (а на приличных математических кафедрах он с большой степенью вероятности возникнет), "почему рост непрерывно дифференцируемой на интервале функции с ограниченной производной не превысит роста функции kx, где k- максимум производной?", то самый простой ответ это сразу сослаться на теорему Лагранжа.

Существует внутренняя точка, и максимум производной по всем внутренним точкам не меньше производной в конкретной.

(при b>a)

f(b)-f(a)=f`(psi)*(b-a)<=(b-a)*max{x из [a,b]}(f`(x)

Собственно говоря, доказательство конкретно sin(x)=sin(x)-sin(0), то можно это формально сразу показать алгебраически (для x>0)

sin(x)=sin(x)-sin(0)=(x-0)*cos(ksi)<=(x-0)*max(cos(x))<=x*1

В математике не так редко бывает, что интуитивно "очевидные" вещи на поверку оказываются ложными (вот только недавно психолог не мог понять как, континуальная сумма абсолютных самых настоящих нулей может давать положительный осязаемый результат.)

На пальцах действительно очевидно, что раз производная меньше, то и функция растёт медленнее, и значит сразу после нуля график начинает загибаться вниз и дальше навсегда останется всегда ниже х, вполне ясно из математического опыта и интуиции, опыта построения графиков и т.д.. Это очень красочное и наглядное _объяснение_ или интерпретация того, что происходит с графиком, оно является очень убедительным, но верификацию в качестве доказательства в таком виде не пройдёт.

@Максим Лапиков, естественно, я все это знаю. Но вопрос задан явно школьником или далеким от математики человеком. Не считаю нужным плодить лишние сущности. Мое геометрическое объяснение вполне достаточно

@Alex_soldier, мне ничего не надо объяснять. Я все знаю.