Почему синус от аргумента всегда(кроме случая x=0) меньше аргумента?

@Леонид Коганов, 

Данное доказательство не обращается к ряду Маклорена.

@Максим Лапиков, я допустил откровенный ляп про "малые, но (именно!) отрицательные значения аргумента". Напрочь забыл, что синус есть нечётная функция своего аргумента, как её не задавать (допустим, геометрически, как ординату "текущей" точки единичной окружности при естественной параметризации последней, то есть окружности). Так что Ваше неравенство, если расмотреть визуально графики y = sin x, y = x, оно это неравенство про правую полуось, включая начальный нуль.
Поскольку по Пифагору (sin x)^2 + (cos x)^2 = 1, то везде на оси, тем паче на правой полуоси имеем sin x по абсолютной величине не превосходит 1.
Достаточно посмотреть наше неравенство на полуинтервале (0, 1], поскольку справа сам аргумент строго больше 1. И нам достаточно взять об'емлющий интервал (0, одна треть от греческого пи - нет у меня под рукой греческой клавы, не обессудьте!]. Поскольку эта треть приблизительно 3,14 / 3 > 1.
Далее на указаннном полуинтервале я буду рассматривать разность x - sin x с помощью понятия производной.
Пока прервусь.
Л.К.

@Леонид Коганов,

@Леонид Коганов, 

Если вы хотите использовать ряд Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа для 0<x<1, то это можно сделать

sin(x)=sin(0)+cos(0)*x-sin(psi)/2!*x^2=x-sin(psi)*x^2/2, так как синус при 0<x<1, больше нуля, то при пси от нуля до х, который до 1, имеем что и sin(psi) тоже больше нуля (потенциально может оказываться сколь угодно малым, но для каждого конкретного икс он обязательно окажется строго положительным), или -sin(psi)<0

sin(x)=x-sin(psi)*x^2/2<x

@Максим Лапиков, я имел в виду первые два тождественно ненулевых члена: х - х^3 / 6 + остаток по Лагранжу (здесь 6 = 1•2•3 = 3! - для справки).
Л.К.
Тут на форуме ниже уже разобрались, и даже с оценкой ряда по Лагранжу в "промежуточной точке" нормированной соотвествующим факториалом именно пятой степени буквы-переменной х. У меня клава "барахлит", не обессудьте.
К.

@Леонид Коганов, пока не могу "выскочить" из порочного круга: понятие производной, точнее "лобовое" применение понятия производной к геометрически заданному синусу использует в предельном переходе так называемый первый замечательный предел, предел при стремлении к нулю (справа) отношения sin x / x.
На самом деле фунциональная лемма "о двух милиционерах" близко к нулю использует, имхо, более слабое неравенство (всё - справа от нуля!) sin x ≤ x.
Надобно мне ещё подумать малость.
Либо это, либо (достаточно нестрогой!) монотонность лебеговой меры (можно - плоской, а не линейной). Но чисто пока не могу, надо размышлять.
Л.К.

Можно через пятую, можно до четвёртой расписать, ничего там хитрого не получится, но (для x<1) достаточно приближения первой степени и остаточного члена соответственно с x^2.

То, что в данном случае в выводе ряда Тейлора, скрыто "доказываемое" неравенство - не секрет.

Но математики иногда имеют право выбросить прекрасно замаринованную курицу, тем самым свести задачу к предыдущей :-)

Если человек уже знает, что ряд маклорена и производные, в том числе табличные значения синусов и косинусов строго последовательно доказаны, то в принципе имеет право ими пользоваться.

Это недопустимо если мы говорим о теореме строгого последовательного курса мат анализа, в котором из замечательного предела будет доказываться формула для производных для синусов, из которой ряд Маклорена для синуса, из него это неравенство, которое использовалось при доказательстве замечательного предела. Такой курс, разумеется, никуда не годится.

А для задачи этот вариант решения хоть и странный, но имеет право быть.

@Максим Лапиков, простите, ряд Маклорена (степенной ряд с центром круга сходимости именно в нуле) может быть получен / обоснован в частности для основных тригонометрических зависимостей - без введения понятия производной и без разложения Брука Тейлора (в точке "крепления" / приложения 0 со сдвигом из этой точки, обозначаемым буквой х). Есть такой сильный приём: метод неопределённых коэффициентов (см. недавно переизданные с жутким ляпом редакции на последней странице обложки) лекции Адольфа Гурвица. Степенные ряды естественно расширяют понятие многочлена (от одной буквы по Дмитрию Конст. Фаддеву). А анализ можно развивать на определённых классах функций, что, впрочем некогда и делалось.
Л.К.
С "первым замечательным пределом" надо аккуратствовать, тут Вы правы.
К.

@Максим Лапиков, кажется я, наконец, пончял как "спасти" так называемый "геометрический" вывод первого замечательного предела отношения sin x / x при стремлении аргумента к нулю справа.
Наброски есть в Курсе Куранта (М, 1967, том 1, стр. 69 - 70), Панчишкин - Шавгулидзе "Тригонометрические функции в задачах", гл.5, пример 1 на стр. 141 - 143. Они разумны, но меня не удовлетворяют из-за дыр.
Представляет ли моё штопанье дыр возможный интерес именно для Вас?
Для себя и кратко записал в рабочем блокноте. С опорой на дынные в Куранте и в Панчишкине -Шавгулидзе практически одинаковые рисунки - иллюстрации (репродуцировать нет возможности).
Л.К.

@Владимир Горбацевич, 

1) по определению в евклидовой геометрии длина кривой это супремум длин вписанных ломаных.

Так как, длина любого спрямления(в том числе просто отрезка соединяющего концы) не может быть больше супремума длин спрямлений, то длина вписанной ломаной всегда не больше длины кривой. (заметим, что это верно для любой непрерывной кривой, в том числе не кусочно гладкой и не имеющей конечного супремума длин спрямлений.)

2) То, что минимум расстояния от точки до прямой это именно длинна перпендикуляра.

Опустим из M на прямую нормаль.

Проводим отрезок от точки М до некоторой произвольной точки прямой, но не лежащей на опущенной на прямую нормали. (кратчайшее расстояние между двумя точками это отрезок мы выше уже доказали).

Получим прямоугольный треугольник, из теоремы пифагора известно, что гипотенуза всегда больше любого катета (так как треугольник не вырожденный и катеты не нулевые, то неравенство строгое) Так как расстояние от точки, не лежащей на прямой, до любой точки прямой (кроме прямой лежащей на опущенном перпендикуляре) всегда больше длинны перпендикуляра, то это в точности, что кратчайшее расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра.

@Владимир Горбацевич, 

Упорядочение точек на кривой может быть произведено без введения явной алгебраической параметризации.

Да, сходу придумать точное определение для общего случая сложно, но для кривых с началом и концом, и не имеющих самопересечения, (к которым относится дуга окружности), дать его вполне возможно.

Совершенно верно, вся математика "детский сад".

В геометрии строго не определяются понятия точки, отрезка, прямой как и линии(кривой). (в разных аксиоматиках по разному, у Александрова прямая может быть определена через отрезок и его свойства.)

Они полагаются ясными из предметной области, что есть карандаш и линейка.

Вы конечно попытаетесь сказать, что в вашем курсе есть строгое определение прямых в декартовых координатах, но оно само использует понятие прямой при введении координатной плоскости (при задании осей).

В рамках вашего курса вы хотите получить ответ в терминах непрерывного отображения отрезка числовой прямой (для которого, упорядочение точек разбиения, задаётся через отношения больше меньше для действительных чисел) и что вписанная ломаная будет идти по образам точек в том-же порядке, и это правильно, но это не значит, что не выходя за рамки евклидовой геометрии нельзя определить вписанную ломаную(для некоторого класса кривых).

я не утверждал обратного.

Никто не запрещает в евклидовой плоскости рисовать участок кубической параболы, и его вполне можно спрямлять ломаными.

Мы сейчас разговариваем в контексте указанной задачи, которая вполне вписывается в евклидову геометрию. Есть много разных разделов математики, где-то проводят обобщение каких-то понятий, или наоборот глубже рассматривают частные случаи.