Теперь Кью работает в режиме чтения

Мы сохранили весь контент, но добавить что-то новое уже нельзя

Почему синус от аргумента всегда(кроме случая x=0) меньше аргумента?

Возможно, я плохо искал, однако мне не удалось найти ответа на свой вопрос в привычных местах. Естественно, речь идёт об общем случае, а не о граничных, в которых это вполне очевидно. Я понимаю, что это, скорее всего, доказывается через окружность, однако почему-то не могу провести рассуждения, которые после понимания этого почти наверняка покажутся тривиальными. Заранее спасибо
МатематикаТригонометрия
Сергей Козлов  ·   · 24,3 K
Максим Лапиков
Математик-системный программист, разработчик асу...  · 13 апр 2022
На всякий случай сразу оговоримся, что аргумент синуса выражен именно в радианах.
Вспомним, что такое угол в радианах, угол в радианах это "длина дуги единичной окружности на которую опирается угол" (есть разные эквивалентные определения, нам сейчас удобно это).
Для начала рассмотрим обычный геометрический синус, реально существующего треугольника. 
Так как рисовать мне негде, будем по классике считать, что у нас есть координатная плоскость, в первой четверти есть луч образующий угол "а" с осью икс. 
Построим единичную(для удобства) окружность. 
Из точки пересечения "луча" и окружности(M) опустим перпендикуляр на ось икс, легко показать, что его длина будет равна "y". И так мы получили прямоугольный треугольник с катетами x,y, и гипотенузой "1" (так как радиус 1).  Строго по определению sin(a)=y/1=y
Дуга(единичной окружности), на которую опирается угол, это величина угла в радианах или просто "а". мы знаем, что кривая(дуга) соединяет точку, лежащую на оси икс и точку M, при этом мы знаем, что кратчайшее расстояние между точкой M и прямой(осью икс), это длина перпендикуляра опущенного из точки на прямую(как мы знаем это в точности "y"). Таким образом дуга не может быть меньше y, или "a>=y", а "y" это в точности sin(a) => a>=sin(a)
Если переходить к обобщениям тригонометрической функции на тупые и отрицательные углы, то
1) известно что синус(действительного аргумента) всегда <=1. угол 1 радиан лежит ещё в первой четверти, для которой мы утверждение доказали, для а>1>=sin(a) верность вполне очевидна.
2) Для отрицательных углов выполняется обратное неравенство. это легко можно показать просто из нечётности синуса( sin(-a)=-sin(a) ), 
для а<=0, пусть b=-a, тогда b есть положительное, для него мы уже доказали
sin(b)<=b 
-sin(b)>=-b {умножили на -1 обе части неравенства, поменяв знак неравенства так как умножали на отрицательное число}
sin(-b)>=-b => sin(a)>=a (как помним, для отрицательных "а")
Леонид Коганов
16 апр 2022
Маклореновский ряд в нуле из первых двух членов с остатком по Лагранжу не пробовали смотреть при малых, но... Читать дальше
Максим Лапиков
17 апр 2022
@Леонид Коганов, 
Данное доказательство не обращается к ряду Маклорена.
Автор удалил комментарий
Максим Лапиков
21 апр 2022
@Владимир Горбацевич, 
1) по определению в евклидовой геометрии длина кривой это супремум длин вписанных ломаных.
Так как, длина любого спрямления(в том числе просто отрезка соединяющего концы) не может быть больше супремума длин спрямлений, то длина вписанной ломаной всегда не больше длины кривой. (заметим, что это верно для любой непрерывной кривой, в том числе не кусочно гладкой и не имеющей конечного супремума длин спрямлений.)
2) То, что минимум расстояния от точки до прямой это именно длинна перпендикуляра.
Опустим из M на прямую нормаль.
Проводим отрезок от точки М до некоторой произвольной точки прямой, но не лежащей на опущенной на прямую нормали. (кратчайшее расстояние между двумя точками это отрезок мы выше уже доказали).
Получим прямоугольный треугольник, из теоремы пифагора известно, что гипотенуза всегда больше любого катета (так как треугольник не вырожденный и катеты не нулевые, то неравенство строгое) Так как расстояние от точки, не лежащей на прямой, до любой точки прямой (кроме прямой лежащей на опущенном перпендикуляре) всегда больше длинны перпендикуляра, то это в точности, что кратчайшее расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра.
Максим Лапиков
21 апр 2022
@Владимир Горбацевич, 
В школе супремум не изучают. А вопрос был от школьника. Или ему можно "абы как" отвечать?
Ну если не давался, то можно добавить определение супремума, ничего сильно страшного для школьников, знающих максимум и минимум в "минимуме среди верхних граней" нет.
К сожалению, точный ответ на его вопрос выходит за пределы школьной программы.
Вопрос в конечной мере точности.
Можно доходить до базовых аксиом Александрова, из которых непрерывность и связность отрезка ещё надо доказать, и алгебры действительных чисел, прослеживая какая преемственность идёт от аксиом Пеано. Да, вопросы базовых аксиом и понятий выходят за рамки школьной программы, есть вещи, которые полагаются "ясными из предметной области", как, в конечном счёте и базовые аксиомы. Но хорошо бы минимизировать то что мы принимаем на веру, и больше иметь доказанных вещей.
Вообще-то определение. длины нужно немного более аккуратное.
Если мы остаёмся в рамках Евклидовой геометрии, то это корректное определение, алгебраизация геометрии и обобщения его не отвергают, только уточняют и предлагают более удобный метод как быть с некоторыми объектами.
Что такое спрямление?
В зависимости от контекста спрямление это
  • процесс получения длинны кривой(или равновеликого отрезка),
  • конкретная вписанная ломаная, иногда для краткости называется частным спрямлением или просто спрямлением.
  • когда разговор о величине, то длина частной вписанной ломаной, иногда называется спрямлением.
Кстати, а как Вы собираетесь "спрямлять" кривую Пеано (заполняющую весь квадрат)?
У меня нет сейчас никакой необходимости спрямлять кривую Пеано(хотя не сложно показать что её длина не ограничена, то есть является неспрямляемой). В рамках вопроса мне достаточно, что её длинна в геометрии Евклида не может быть меньше, чем длина любой вписанной ломаной, которая всегда не больше длинны отрезка, соединяющего концы.
Здесь без понятия параметризации не обойтись. А это понятие Вами не упомянуто.
Параметризация в скрытой форме используется в определении вписанной в кривую ломаной.
При этом можно дать геометрическое определение вписанной ломаной, использующее только непрерывность и возможность "разрезать кривую".
Если на пальцах, для школьников, то если идти по кривой от одного конца к другому, то точки, используемые во вписанной ломаной, должны использоваться в том же порядке как встречаются на кривой.
Более строго
Ломанная l0,l1,..,ln называется вписанной в кривую если,
все точки различны и лежат на кривой,
l0- совпадает с началом кривой и ln с концом
при этом
точка l1 разбивает кривую (l0,ln) таким образом, что кривые
"l0,l1" "l1,ln" имеют только одну общую точку(l1),
точка l2 разбивает кривую (l1,ln) таким образом, что кривые
"l1,l2" "l2,ln" имеют только одну общую точку(l2),
...
точка l(n-1)разбивает кривую (l(n-2),ln) таким образом, что кривые
"l(n-2),l(n-1)" "l(n-1),ln" имеют только одну общую точку,
Максим Лапиков
29 апр 2022
@Владимир Горбацевич, 
Определение через вписанную ломаную было в школьном учебнике по геометрии, когда проходили длину окружности, точных формулировок я к сожалению не помню, оно давалось для общего развития и в практических задачах не использовалось (по понятным причинам, так как по сути требует знания теории пределов), потому многие не понят, что оно вообще-то было.
Может быть вы нам озвучите ваше определение длины кривой?
И за одно задумаетесь, откуда оно взялось.
На самом деле, формулы взяты не из воздуха, а из простого положения.
Длина отрезка(заданного в координатной плоскости) - это корень((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
Если некоторая непрерывная кривая описывается на отрезке непрерывно дифференцируемой функцией f(x)
f(x2)=f(x1)+f`(psi)(x2-x1) {где x1<psi<x2, по теореме Лагранжа}
f(x2)-f(x1)=(f`(psi)(x2-x1))
корень((x2-x1)^2+(f(x2)-f(x1))^2)=|x2-x1|*корень(1+{f`(psi)}^2)
Таким образом, длина всякой вписанной ломаной представляется некоторой суммой Римана для функции {корень(1+(f`(x))^2) } при некотором разбиении, и соответственно для данного разбиения она больше нижней суммы Дарбу для данного разбирения. Если функция интегрируема то, предел сумм Дарбу сходится и супремум длин вписанных ломанных может только быть равен
интеграл[x1,x2] {(корень(1+(f`(x))^2))}dx
Другие формулы для частных случаев также вполне выводятся из утверждения что описывают некоторое спрямление ломанными.
Только непрерывно дифференцируемые функции это частные случаи.
Например, длина Канторовой лестницы это "2".
Максим Лапиков
4 мая 2022
@Владимир Горбацевич, 
да, спешу, допускаю ошибки, оговорки, грешен.
Определение вписанной ломаной без алгебраической параметризации я вам предоставил.
Наглядно оно обозначает, что кривая (произвольная, с началом и концом) некоторым _упорядоченным_ множеством точек, может разбиваться на дуги, последовательно отсечением дуг с одного конца. Вписанная ломаная получается при замене полученных таким образом дуг соответствующими хордами.
Вы не сможете в конечную кривую вписать ломаную больше, чем длина кривой.
ибо по предположению выше функция f(x) - класса C^1 и потому, кстати, для нее подинтегральная функция будет всегда интегрируема).
По предположению - Да. Для гладких кривых эквивалентность этих определений показывается в курсе матана, и в курсе диф геометрии могут повторно не возвращаться к этому, так как изучают в основном гладкие кривые, а формулы считаются известными из курса мат анализа, но формулы для гладких кривых выводятся именно из общего определения.
http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m1703.html
А просто "непрерывная" может и не иметь длины (как предела длин "вписанных" как-то ломаных
И с этим никто не спорил, и в этом нет никаких противоречий.
Да, "не всякая кривая спрямляема", "не всякая кривая имеет конечный супремум вписанных ломанных", "кривая может не иметь конечной длины", "некоторые кривые могут иметь бесконечную длину". И никаких противоречий с длинами гладких кривых вы в курсе дифференциальной геометрии не найдёте.
При этом "гладкость" не является необходимым условием для конечности длины кривой.
Есть не гладкие кривые, тем не менее имеющие вполне конечную длину, например уже упомянутая лестница Кантора.
Максим Лапиков
4 мая 2022
@Владимир Горбацевич, 
http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m1703.html
Так всё-таки супремум длин вписанных ломаных, и никаких "других зигзагообразных ломаных". это прогресс.
Именно через спрямление задаётся естественное понятие длины кривой, которое применимо и к лестнице Кантора.
В диффгеометрии, применительно к непрерывно дифференцируемым кривым, часто применяется эквивалентное определение, верное только для частного случая дифференцируемых кривых. С другой стороны рассматривается более общий случай, с возможностью наложения участков кривой.
Параметризация не является необходимой, по сути в определении используется только последовательность точек "а,b,c..." которые идут в порядке следования, соответственно движению карандаша, очерчивающего непрерывную кривую.
Согласен, приведённое мной утверждение как определение вписанной ломаной подходит только для незамкнутых кривых без самопересечения (самоналожение выходит за рамки объектов, изучаемых евклидовой геометрией). это важное дополнение, которое я упустил (в контексте обсуждения части дуги окружности оно было применимо).
-----
Для незамкнутой кривой ab, вписанной ломаной будет считаться
  • хорда ab, или
  • ломаная "a,x1,x2,..x[n-1],b", такая что, x1 является внутренней точкой дуги (a x[2]), x[2] является внутренней точкой дуги (x[1]x[3]) , ... , x[n-1] является внутренней точкой дуги (x[n-2] b)
----
Если кривая L замкнута, возьмём на ней произвольно две различные точки а,b, они разбивают кривую на две кривые. l1,l2.
1 - если ломаная "a x[1] x[2] .. x[n] b" является вписанной в l1 (или l2), то _замкнутая_ ломаная "x[1] x[2] .. x[n]" является вписанной в L
2 - Если
-- "a x[1] x[2] .. x[n] b" является вписанной в l1
-- "a y[1] y[2] .. y[m] b" является вписанной в l2
то замкнутая ломаная "x[1] x[2] .. x[n] y[m] y[m-1] ... y[1]" вписана в L
Автор удалил комментарий
Максим Лапиков
5 мая 2022
@Владимир Горбацевич, 
Упорядочение точек на кривой может быть произведено без введения явной алгебраической параметризации.
Да, сходу придумать точное определение для общего случая сложно, но для кривых с началом и концом, и не имеющих самопересечения, (к которым относится дуга окружности), дать его вполне возможно.
Не выдержал я! Это же детский сад какой-то.
Совершенно верно, вся математика "детский сад".
В геометрии строго не определяются понятия точки, отрезка, прямой как и линии(кривой). (в разных аксиоматиках по разному, у Александрова прямая может быть определена через отрезок и его свойства.)
Они полагаются ясными из предметной области, что есть карандаш и линейка.
Вы конечно попытаетесь сказать, что в вашем курсе есть строгое определение прямых в декартовых координатах, но оно само использует понятие прямой при введении координатной плоскости (при задании осей).
В рамках вашего курса вы хотите получить ответ в терминах непрерывного отображения отрезка числовой прямой (для которого, упорядочение точек разбиения, задаётся через отношения больше меньше для действительных чисел) и что вписанная ломаная будет идти по образам точек в том-же порядке, и это правильно, но это не значит, что не выходя за рамки евклидовой геометрии нельзя определить вписанную ломаную(для некоторого класса кривых).
"Самоналожение" - такого термина в математике нет.
я не утверждал обратного.
Классическая евклидова геометрия изучает только линейные и квадратичные объекты.
Никто не запрещает в евклидовой плоскости рисовать участок кубической параболы, и его вполне можно спрямлять ломаными.
Мы сейчас разговариваем в контексте указанной задачи, которая вполне вписывается в евклидову геометрию. Есть много разных разделов математики, где-то проводят обобщение каких-то понятий, или наоборот глубже рассматривают частные случаи.
Дмитрий Иванов
По образованию физик и математик (МФТИ)....  · 17 апр 2022
Ну и напридумывали ответов, аж до рядов дошли)). Все просто.Из определения синуса через единичную окружность. Синус -отрезок AP, аргумент -дуга PB. Что больше, хорда или дуга? (здесь полхорды и полдуги) Читать далее
2 эксперта согласныи1 эксперт не согласен
Сергей Чабовский
возражает
13 окт 2022
sin x > x всегда при x < 0, x ∈ ℝ.
Ruslan Y
Инженер электронной техники, программист.  · 21 апр 2022
Потому, что синус, как и косинус по определению это проекции единичного вектора на координатные оси. В этой метрике проекция прямая и не может быть больше объекта, ее создающую. 
Вадим Романский
возражает
23 апр 2022
более, этого, это переформулировка другого вопроса - "почему синус меньше 1", а не почему меньше х
Alex_soldier
Простые числа. Преподаватель с 2001, к.т.н. Яндекс...  · 13 апр 2022
Разложение синуса в ряд Тейлора (х - в радианах): sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + … Как видите, каждый следующий аргумент меньше предыдущего, таким образом синус от аргумента становится меньше самого аргумента (по... Читать далее
1 эксперт согласени3 эксперта не согласны
Максим Лапиков
возражает
13 апр 2022
Подставляю x=10^3 и вижу что это не так.
Dmitry Maslov
Инженер путей сообщения – строитель  · 12 апр 2022
Потому-что синус есть отношение катета к гипотенузе. А катет всегда меньше гипотенузы, что ещё древние греки знали, называя своими именами аксиомы и теоремы геометрии.
3 эксперта не согласны
Максим Лапиков
возражает
13 апр 2022
Аргумент синуса в рассуждениях вообще никак не участвует. В лучшем случае показано, что sin(a)<=1
1 ответ скрыт(Почему?)