Почему синус от аргумента всегда(кроме случая x=0) меньше аргумента?
Возможно, я плохо искал, однако мне не удалось найти ответа на свой вопрос в привычных местах. Естественно, речь идёт об общем случае, а не о граничных, в которых это вполне очевидно. Я понимаю, что это, скорее всего, доказывается через окружность, однако почему-то не могу провести рассуждения, которые после понимания этого почти наверняка покажутся тривиальными. Заранее спасибо
МатематикаТригонометрия
Разложение синуса в ряд Тейлора (х - в радианах):
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + …
Как видите, каждый следующий аргумент меньше предыдущего, таким образом синус от аргумента становится меньше самого аргумента (по абсолютной величине, конечно) из-за (x - x^3/3!)
1 эксперт согласени3 эксперта не согласны
Максим Лапиков
13 апр 2022возражает
Подставляю x=10^3 и вижу что это не так.
По модулю 2π взять забыли.
P.S. Кривляние вас не красит.
Вадим Романский
15 апр 2022возражает
очевидно для любого конечного куска ряда тейлора при достаточно больших х значение будет больше 1
@Вадим Романский, вы ветку-то удосужились прочитать?
0 < x <= 1
Дмитрий Иванов
20 апр 2022возражает
Хоть ответ и верен, но ставлю минус. Автор плохо понимает, что такое ряды. И полное отсутствие математической культуры
@Дмитрий Иванов, как и обещал, за троллинг ставлю дизлайк и отправил на вас 2 репорта в службу модерации:
- Необоснованная оценка
- Не разбирается в теме
P.S. Пишите и дальше про звезды, сфера Образования не для вас!
Как видите, каждый следующий аргумент меньше предыдущего, таким образом синус от аргумента становится меньше самого аргумента
На самом деле, это вовсе не очевидно. То, что каждый следующий меньше, не всегда означает , что их сумма не будет больше. Это надо доказывать. И зачем вообще привлекать ряды? Это можно показать геометрически из определения синуса.
Добрый вечер, Дмитрий.
Как можно легко заметить из вопроса, речь идет об интервале 0 < x <=1
Ряд Тейлора при этом является знакочередующимся и убывающим по абсолютной величине.
В этом случае первые 2 члена ряда как раз наглядно демонстрируют интересующий автора вопроса эффект:
sin(x) = x - x^3/3! < x
Но даже если взять 3-й член:
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! < x
3-й член не сможет компенсировать отрицательный вклад 2-го и синус продолжает быть меньше аргумента.
А следущий 4-й член снова с минусом:
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! < x
Это наиболее компактное объяснение без всякого рисования.
Это надо доказывать
Доказано Лейбницем.
@Alex_soldier, я прекрасно знаю, что это доказано. Но объяснение без доказательства не годится, а у Вас его не было. Кроме того, вопрос явно задан далеким от математики человеком, скорее всего-школьником, а Вы ряды из высшей математики. Не проще ли нарисовать и все увидеть?
@Дмитрий Иванов, я не прикладываю к своим ответом руководство по использованию туалетной бумаги и мануалы по Windows, поскольку справедливо полагаю, что собеседник уже располагает этими знаниями.
Если зайти в профиль автора (что я предварительно и сделал), то можно посмотреть историю его вопросов и ответов. В частности, он интересуется линейной алгеброй, интегралами, высшей математикой, системами трехмерного черчения.
В 2 членах ряда могут запутаться лишь некоторые местные "эксперты". Школьники же, как правило, мгновенно соображают, что "где минус - там меньше".
P.S. Вы забыли, что для полного доказательства геометрического метода вам самому нужно приложить как минимум труды по радианам. Так что давайте не будем доходить до абсурда.
@Alex_soldier, Я Вас умоляю, какие труды по радианам? Кратчайшее расстояние между двумя точками-это прямая линия. Это на первых страницах любого учебника по геометрии.
школьники же, как правило, мгновенно соображают, что "где минус - там меньше".
Школьники не знают, что такое ряды. Для них приведенная Вами запись не имеет никакого смысла
ЗЫ Помните фильм "Приключения Электроника"? Он там задачи для шестого класса с помощью интегралов решал.))
@Дмитрий Иванов, умолять бесполезно - мольбы не являются доказательством. Здесь действует исключительно принцип взаимности: если требуете от других доказательства каждого чиха, будьте готовы сами предоставить аналогичные свои!
Просьба не сводить дальнейшую беседу во флейм.
@Alex_soldier, " Вас умоляю"- фразеологический оборот , означает просьбу не говорить о чём-л. ненужном.))
Итак PA у нас синус, а дуга PB -его аргумент. Отметим на окружности точку D , симметричную относительно оси x. Отрезок DP =2 PA, дуга DBP=2 дугам BP. Что длиннее , прямая DP или дуга DBP? Вспоминаем, что кратчайшим расстоянием между двумя точками является прямая. ЧТД
@Дмитрий Иванов, вы какой-то чудной, ей-богу!
Разве ваше решение кто-то оспаривает?
Наоборот - вы молодец!
Даешь больше решений, хороших и разных!
Но вот того, кто смеет минусовать чужие верные ответы с обоснованием "мне просто не нравится", я сотру в порошок без всякого сожаления.
Я понятно объясняю?
@Alex_soldier, я не минусую, ответ у Вас верный, но мне он тоже не нравится. Для того, чтобы его понять , надо знать теорию рядов. Это знают далеко не все. Кроме того, объяснение с помощью рядов не отвечает на главный вопрос : "почему так?" . Можно было бы совсем ничего объяснять, ну так получилось.А геометрическое объяснение идет от самого определения синуса.
@Дмитрий Иванов, для конструктивного продолжения беседы просьба сообщить, какой у вас педагогический стаж, и где?
@Alex_soldier, не понял вопроса, какое это имеет отношение? Образование получил в МФТИ ака Физтех. Научные работы по сверхзвуковой газодинамике. Надеюсь, вопросов по поводу моего знания математики больше нет? И ещё, уже к Вам вопрос, зачем решать элементарную школьную задачу с помощью высшей математики? ЗЫ могу подсказать, как 2х2 посчитать с помощью интеграла)))
@Дмитрий Иванов, я спросил, какой у вас педагогический стаж, и где вы преподавали?
UPDATE:
Мне это нужно, разумеется, не для того, чтобы циферками померяться, а чтобы точнее понять причину ваших возражений и привести наиболее понятные примеры.
Из определения синуса через единичную окружность. Синус -отрезок AP, аргумент -дуга PB. Что больше?
На всякий случай сразу оговоримся, что аргумент синуса выражен именно в радианах.
Вспомним, что такое угол в радианах, угол в радианах это "длина дуги единичной окружности на которую опирается угол" (есть разные эквивалентные... Читать далее
Маклореновский ряд в нуле из первых двух членов с остатком по Лагранжу не пробовали смотреть при малых, но... Читать дальше
Ну и напридумывали ответов, аж до рядов дошли)). Все просто.Из определения синуса через единичную окружность. Синус -отрезок AP, аргумент -дуга PB. Что больше, хорда или дуга? (здесь полхорды и полдуги) Читать далее
2 эксперта согласныи1 эксперт не согласен
Сергей Чабовский
13 окт 2022возражает
sin x > x всегда при x < 0, x ∈ ℝ.
Потому, что синус, как и косинус по определению это проекции единичного вектора на координатные оси. В этой метрике проекция прямая и не может быть больше объекта, ее создающую.
Вадим Романский
23 апр 2022возражает
более, этого, это переформулировка другого вопроса - "почему синус меньше 1", а не почему меньше х
Потому-что синус есть отношение катета к гипотенузе. А катет всегда меньше гипотенузы, что ещё древние греки знали, называя своими именами аксиомы и теоремы геометрии.
3 эксперта не согласны
Максим Лапиков
13 апр 2022возражает
Аргумент синуса в рассуждениях вообще никак не участвует. В лучшем случае показано, что sin(a)<=1