Почему синус от аргумента всегда(кроме случая x=0) меньше аргумента?

Простые числа. Преподаватель с 2001, к.т.н. Яндекс... · 13 апр 2022

Разложение синуса в ряд Тейлора (х - в радианах):

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + …

Как видите, каждый следующий аргумент меньше предыдущего, таким образом синус от аргумента становится меньше самого аргумента (по абсолютной величине, конечно) из-за (x - x^3/3!)

1 эксперт согласени3 эксперта не согласны

Максим Лапиков

возражает

13 апр 2022

Подставляю x=10^3 и вижу что это не так.

13 апр 2022

По модулю 2π взять забыли.

P.S. Кривляние вас не красит.

возражает

очевидно для любого конечного куска ряда тейлора при достаточно больших х значение будет больше 1

@Вадим Романский, вы ветку-то удосужились прочитать?

0 < x <= 1

@Alex_soldier, зачем мне читать ветку, если я могу прочитать ответ? И с чего вдруг x меньше 1?

@Вадим Романский, попробуйте использовать голову

(подсказка: sin(x) < x , x - в радианах, если что)

@Вадим Романский, а вы куда пропали-то?

Наделали дел, и удалились по-английски.

Будьте любезны исправить ошибки - снять возражение и дизлайки, а также лайки с ложных комментариев.

По Максиму я уже подал заявку на пересмотр его статуса, но там клиника, он уже не первый раз прокалывается на "подтасовочный" контрпримерах и никогда не признает своей неправоты.

Вы же, насколько вижу, пока действовали в спешке и по невнимательности.

@Alex_soldier, зачем снимать? Ответ написан неправильно. То что он допилен до правильного через десять комментариев его не спасает. это ваши проблемы

@Вадим Романский, ответ написан абсолютно правильно.

То что вы решили притянуть за уши контрпример за 10 км от ОДЗ - это исключительно ваши проблемы. Странно слышать подобное от вроде бы эксперта, когда даже школьнику уже все ясно с полуслова.

Впрочем, если вы тоже надумали "выискивать блох" в формулировках чужих ответов, то в эту игру можно играть вдвоем, и последствия для себя вы пока еще слабо представляете. Алаверды прилетят очень скоро!

@Alex_soldier, синуса десяти пи не бывает? в таком виде в каком оно есть - объяснение неправильное

@Вадим Романский, паясничаете? Вы вопрос вообще читали? Там вроде бы по-русски спрашивается про sin(x)<x, или у вас какие-то другие синусы, которые могут быть больше единицы?

Я вот не понимаю, вы что, пытаетесь оспорить старину Тейлора с разложением синуса в ряд? Это очень серьезная заявка!

Прежде чем я возьмусь за вас основательно, будьте любезны подробно изложить свою позицию по данному вопросу.

Я знаю, что вы специализируетесь на физике, а не на математике, но все же любопытно узнать ваше видение.

@Alex_soldier, О БОЖЕ КАК Я ИСПУГАЛСЯ что за меня возьмется кто-то из интернета.

Видение очевидно любому - объяснение с кусками ряда тейлора не работает для больших углов.

@Вадим Романский, именно поэтому существует ОДЗ, и в справочниках, включая Таблицы Брадиса, значения вычислены именно для интервала 0<=x<=π/2, о чем вы с Максимом, видимо, впервые слышите.

А для всех других углов используются формулы из школьного курса:

sin(-x) = -sin(x)

sin(π-x) = sin(x)

sin(x+2πk) = sin(x)

Вы с Максимом решили сумничать на пустом месте, притянув за уши примеры заведомо вне ОДЗ, теперь не обессудьте.

Вашу публичную порку я начну с вашего этого глупого ответа.

@Alex_soldier, ммм, супер-математик не знает что синус определен на всей вещественной оси... (а вообще даже на комплексной плоскости)

возражает

20 апр 2022

Хоть ответ и верен, но ставлю минус. Автор плохо понимает, что такое ряды. И полное отсутствие математической культуры

20 апр 2022

@Дмитрий Иванов, как и обещал, за троллинг ставлю дизлайк и отправил на вас 2 репорта в службу модерации:

Необоснованная оценка
Не разбирается в теме

P.S. Пишите и дальше про звезды, сфера Образования не для вас!

Как видите, каждый следующий аргумент меньше предыдущего, таким образом синус от аргумента становится меньше самого аргумента

На самом деле, это вовсе не очевидно. То, что каждый следующий меньше, не всегда означает , что их сумма не будет больше. Это надо доказывать. И зачем вообще привлекать ряды? Это можно показать геометрически из определения синуса.

Добрый вечер, Дмитрий.

Как можно легко заметить из вопроса, речь идет об интервале 0 < x <=1

Ряд Тейлора при этом является знакочередующимся и убывающим по абсолютной величине.

В этом случае первые 2 члена ряда как раз наглядно демонстрируют интересующий автора вопроса эффект:

sin(x) = x - x^3/3! < x

Но даже если взять 3-й член:

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! < x

3-й член не сможет компенсировать отрицательный вклад 2-го и синус продолжает быть меньше аргумента.

А следущий 4-й член снова с минусом:

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! < x

Это наиболее компактное объяснение без всякого рисования.

Это надо доказывать

Доказано Лейбницем.

Из определения синуса через единичную окружность. Синус -отрезок AP, аргумент -дуга PB. Что больше?

Максим Лапиков

Математик-системный программист, разработчик асу... · 13 апр 2022

На всякий случай сразу оговоримся, что аргумент синуса выражен именно в радианах. Вспомним, что такое угол в радианах, угол в радианах это "длина дуги единичной окружности на которую опирается угол" (есть разные эквивалентные... Читать далее

Леонид Коганов

16 апр 2022

Маклореновский ряд в нуле из первых двух членов с остатком по Лагранжу не пробовали смотреть при малых, но... Читать дальше

По образованию физик и математик (МФТИ).... · 17 апр 2022

Ну и напридумывали ответов, аж до рядов дошли)). Все просто.Из определения синуса через единичную окружность. Синус -отрезок AP, аргумент -дуга PB. Что больше, хорда или дуга? (здесь полхорды и полдуги) Читать далее

2 эксперта согласныи1 эксперт не согласен

Сергей Чабовский

возражает

13 окт 2022

sin x > x всегда при x < 0, x ∈ ℝ.

Ruslan Y

Инженер электронной техники, программист. · 21 апр 2022

Потому, что синус, как и косинус по определению это проекции единичного вектора на координатные оси. В этой метрике проекция прямая и не может быть больше объекта, ее создающую.