Почему синус от аргумента всегда(кроме случая x=0) меньше аргумента?
Возможно, я плохо искал, однако мне не удалось найти ответа на свой вопрос в привычных местах. Естественно, речь идёт об общем случае, а не о граничных, в которых это вполне очевидно. Я понимаю, что это, скорее всего, доказывается через окружность, однако почему-то не могу провести рассуждения, которые после понимания этого почти наверняка покажутся тривиальными. Заранее спасибо
МатематикаТригонометрия
Разложение синуса в ряд Тейлора (х - в радианах):
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + …
Как видите, каждый следующий аргумент меньше предыдущего, таким образом синус от аргумента становится меньше самого аргумента (по абсолютной величине, конечно) из-за (x - x^3/3!)
1 эксперт согласени3 эксперта не согласны
Максим Лапиков
13 апр 2022возражает
Подставляю x=10^3 и вижу что это не так.
По модулю 2π взять забыли.
P.S. Кривляние вас не красит.
@Максим Лапиков, с той, что нужно думать головой. Если вы реально так вычисляете синус для x > π/2 - мне вас искренне жаль.
--
Ваши комментарии и поведение неконструктивны. Напоминаю, что Кью - это место, где пользователи задают вопросы и надеются получить на них ответы. Вы же вместо этого решили поглумиться над школьником, который не смог сформулировать свой вопрос достаточно полно и корректно.
Напоминаю основные формулы, на случай, если вы прогуляли математику в школе:
sin(x+2πk) = sin(x)
sin(π-x) = sin(x)
sin(-x) = -sin(x)
Вполне очевидно (хотя вам почему-то нет), что речь в вопросе идет о первой координатной четверти.
Вы решили заняться "выискиванием блох" в формулировках, чтобы поскандалить, и злонамеренно воспользовались опцией "Возразить" для правильного ответа на вопрос автора.
Я такое не одобряю.
Снимайте ваше возражение и дизлайки - тогда мы об этом просто забудем.
В противном случае, я заметил, тут появилась форма запроса пересмотра экспертного статуса пользователя, который ведет себя неподобающим эксперта образом - днем я намерен воспользоваться ею для пресечения ваших троллингов.
думать головой.
Полностью согласен.
Если вы реально так вычисляете синус для x > π/2 - мне вас искренне жаль.
Только недавно было 2pi и уже π/2? Почему именно пи пополам, почему не пи на семь или четырнадцать?
Математика наука строгая.
Минимально приведите свои мысли в порядок.
Вспомните свойства ряда Тейлора, он (для синуса) сходится и при x=3 и при x=10^3 (правда в последнем случае для этого нужно дойти до элементов с 1000 степенью, только потом коэффициенты всё-таки начнут убывать).
Не нужно подменять понятия, теоретическая математика никак не запрещает считать с помощью ряда тейлора sin(1000), просто из-за ограниченности наших вычислительных возможностей (разрядности или её эквивалента) этот метод на практике для таких расчётов не применим (вычислительная погрешность быстро нарастает)
Конкретно для x=3 коэффициенты начинают убывать уже после второго, и первые пять слагаемых дают хорошее приближение.
3-4.5+2.025-0.434+0.054=0.1453
Для x=5 коэффициенты начинают убывать после третьего и сумма первых 10 элементов даёт 4-ый знак после запятой.
Вполне очевидно (хотя вам почему-то нет), что речь в вопросе идет о первой координатной четверти.
В вашем ответе об этом не было ни слова,
Вы сказали
каждый следующий аргумент меньше предыдущего
В вашей постановке это утверждение совершенно голословно, и в общем случае ложно.
Также из того, что (x - x^3/3!) <x , на прямую никак не следует, что
(x - x^3/3!)+(x^5/5!-x^7/7!)+...<x
последнее можно корректно доказать, например известным образом для знакочередующегося ряда, просто группируя слагаемые попарно, но иным образом
x -( x^3/3!-x^5/5!)-(x^7/7!-x^9/9!) <x
в этом случае, (когда элементы убывают по абсолютной величине и x>0), в каждой скобке будет находиться положительное число, тогда ряд примет вид "x вычесть сумму положительных чисел", такой ряд действительно будет меньше просто икс.
@Максим Лапиков, До чего же люблю троллить троллей!
Вы же сами себя загнали в ловушку для дурака!
--
Разжевываю вам все как для школьника:
Был задан вопрос: Почему sin(x) < x ?
Совершенно очевидно, что поскольку sin(-x) = -sin(x) - нечетная функция, то отрицательные значения надо рассматривать по абсолютной величине.
Дополнительно, поскольку sin(x) <= 1, получается, что для x > 1 радиан неравенство sin(x) < x всегда выполняется и в дополнительных комментариях не нуждается.
Так что весь вопрос сводится только к 1-й координатной четверти, а точнее - ее части 0 < x <= 1 (в радианах).
Данный мною ответ через ряд Тейлора весьма наглядно объясняет причину по 2 первым элементам ряда.
--
В свою очередь, вы, в желании хайпануть, возразили против правильного ответа, прошляпили ОДЗ и привели 2 совершенно идиотских контрпримера (1000 и 3), для которых вообще никакого разложения в ряд даже не требуется.
--
Репорт по вашу душу я пока не отправлял, но если вы не исправите свои неблаговидные действия в ближайшее время, непременно отправлю, и по полной программе.
Мы обсуждаем не верность утверждения, высказанного в вопросе, а конкретно верность вашего "объяснения".
Ведь иначе придётся признать любой бред сивой кобылы, претендующий на корректное доказательство верной теоремы, корректным. Например можно будет сказать в "огороде бузина, потому великая теорема ферма верна", теорема ферма верна, но это не значит, что доказательство через бузину сколько-нибудь убедительно, не говоря уже о корректности.
В вашем объяснении отсутствует какое либо упоминание области значений аргумента, таким образом в контексте вашего ответа ваше утверждение для ряда было сформулировано в общем виде из свойств элементов:
"каждый следующий аргумент меньше предыдущего" - очевидно в такой постановке это глупость, что показывает совершенно корректный(в контексте вашего ответа) контр пример.
Данное утверждение верно для x<корень(6), если мы работаем в первой четверти, то 0<=x<pi/2<корень(6).
Также вы ошибочно утверждаете, что из
x-x^3/3!<x
автоматически следует, что
sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!...<x
Это очевидная глупость, ибо оставшийся хвост после "x-x^3/3!" является положительным, и без оценки его величины утверждать, что число меньшее икс при прибавлении к нему "чего-то" обязательно останется меньше икс - никак нельзя.
Таким образом. единственное разумное зерно, что можно почерпнуть из текста вашего ответа это то, что ответ на вопрос можно вывести используя ряд тейлора для синуса.
Так, с вами все понятно!
Я надеялся увидеть у вас адекватность, пусть и с 3-го раза, но нет так нет.
--
Отправил репорт со ссылкой на устроенный вами балаган.
Теперь ждите заслуженных "аплодисментов"!
Вадим Романский
15 апр 2022возражает
очевидно для любого конечного куска ряда тейлора при достаточно больших х значение будет больше 1
@Вадим Романский, вы ветку-то удосужились прочитать?
0 < x <= 1
Дмитрий Иванов
20 апр 2022возражает
Хоть ответ и верен, но ставлю минус. Автор плохо понимает, что такое ряды. И полное отсутствие математической культуры
@Дмитрий Иванов, как и обещал, за троллинг ставлю дизлайк и отправил на вас 2 репорта в службу модерации:
- Необоснованная оценка
- Не разбирается в теме
P.S. Пишите и дальше про звезды, сфера Образования не для вас!
Как видите, каждый следующий аргумент меньше предыдущего, таким образом синус от аргумента становится меньше самого аргумента
На самом деле, это вовсе не очевидно. То, что каждый следующий меньше, не всегда означает , что их сумма не будет больше. Это надо доказывать. И зачем вообще привлекать ряды? Это можно показать геометрически из определения синуса.
Добрый вечер, Дмитрий.
Как можно легко заметить из вопроса, речь идет об интервале 0 < x <=1
Ряд Тейлора при этом является знакочередующимся и убывающим по абсолютной величине.
В этом случае первые 2 члена ряда как раз наглядно демонстрируют интересующий автора вопроса эффект:
sin(x) = x - x^3/3! < x
Но даже если взять 3-й член:
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! < x
3-й член не сможет компенсировать отрицательный вклад 2-го и синус продолжает быть меньше аргумента.
А следущий 4-й член снова с минусом:
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! < x
Это наиболее компактное объяснение без всякого рисования.
Это надо доказывать
Доказано Лейбницем.
Из определения синуса через единичную окружность. Синус -отрезок AP, аргумент -дуга PB. Что больше?
На всякий случай сразу оговоримся, что аргумент синуса выражен именно в радианах.
Вспомним, что такое угол в радианах, угол в радианах это "длина дуги единичной окружности на которую опирается угол" (есть разные эквивалентные... Читать далее
Маклореновский ряд в нуле из первых двух членов с остатком по Лагранжу не пробовали смотреть при малых, но... Читать дальше
Ну и напридумывали ответов, аж до рядов дошли)). Все просто.Из определения синуса через единичную окружность. Синус -отрезок AP, аргумент -дуга PB. Что больше, хорда или дуга? (здесь полхорды и полдуги) Читать далее
2 эксперта согласныи1 эксперт не согласен
Сергей Чабовский
13 окт 2022возражает
sin x > x всегда при x < 0, x ∈ ℝ.
Потому, что синус, как и косинус по определению это проекции единичного вектора на координатные оси. В этой метрике проекция прямая и не может быть больше объекта, ее создающую.
Вадим Романский
23 апр 2022возражает
более, этого, это переформулировка другого вопроса - "почему синус меньше 1", а не почему меньше х
Потому-что синус есть отношение катета к гипотенузе. А катет всегда меньше гипотенузы, что ещё древние греки знали, называя своими именами аксиомы и теоремы геометрии.
3 эксперта не согласны
Максим Лапиков
13 апр 2022возражает
Аргумент синуса в рассуждениях вообще никак не участвует. В лучшем случае показано, что sin(a)<=1