Почему синус от аргумента всегда(кроме случая x=0) меньше аргумента?
Возможно, я плохо искал, однако мне не удалось найти ответа на свой вопрос в привычных местах. Естественно, речь идёт об общем случае, а не о граничных, в которых это вполне очевидно. Я понимаю, что это, скорее всего, доказывается через окружность, однако почему-то не могу провести рассуждения, которые после понимания этого почти наверняка покажутся тривиальными. Заранее спасибо
МатематикаТригонометрия
Разложение синуса в ряд Тейлора (х - в радианах):
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + …
Как видите, каждый следующий аргумент меньше предыдущего, таким образом синус от аргумента становится меньше самого аргумента (по абсолютной величине, конечно) из-за (x - x^3/3!)
1 эксперт согласени3 эксперта не согласны
Максим Лапиков
13 апр 2022возражает
Подставляю x=10^3 и вижу что это не так.
По модулю 2π взять забыли.
P.S. Кривляние вас не красит.
Вадим Романский
15 апр 2022возражает
очевидно для любого конечного куска ряда тейлора при достаточно больших х значение будет больше 1
@Вадим Романский, вы ветку-то удосужились прочитать?
0 < x <= 1
Дмитрий Иванов
20 апр 2022возражает
Хоть ответ и верен, но ставлю минус. Автор плохо понимает, что такое ряды. И полное отсутствие математической культуры
@Дмитрий Иванов, как и обещал, за троллинг ставлю дизлайк и отправил на вас 2 репорта в службу модерации:
- Необоснованная оценка
- Не разбирается в теме
P.S. Пишите и дальше про звезды, сфера Образования не для вас!
Как видите, каждый следующий аргумент меньше предыдущего, таким образом синус от аргумента становится меньше самого аргумента
На самом деле, это вовсе не очевидно. То, что каждый следующий меньше, не всегда означает , что их сумма не будет больше. Это надо доказывать. И зачем вообще привлекать ряды? Это можно показать геометрически из определения синуса.
Добрый вечер, Дмитрий.
Как можно легко заметить из вопроса, речь идет об интервале 0 < x <=1
Ряд Тейлора при этом является знакочередующимся и убывающим по абсолютной величине.
В этом случае первые 2 члена ряда как раз наглядно демонстрируют интересующий автора вопроса эффект:
sin(x) = x - x^3/3! < x
Но даже если взять 3-й член:
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! < x
3-й член не сможет компенсировать отрицательный вклад 2-го и синус продолжает быть меньше аргумента.
А следущий 4-й член снова с минусом:
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! < x
Это наиболее компактное объяснение без всякого рисования.
Это надо доказывать
Доказано Лейбницем.
Из определения синуса через единичную окружность. Синус -отрезок AP, аргумент -дуга PB. Что больше?
На всякий случай сразу оговоримся, что аргумент синуса выражен именно в радианах.
Вспомним, что такое угол в радианах, угол в радианах это "длина дуги единичной окружности на которую опирается угол" (есть разные эквивалентные... Читать далее
Маклореновский ряд в нуле из первых двух членов с остатком по Лагранжу не пробовали смотреть при малых, но... Читать дальше
Ну и напридумывали ответов, аж до рядов дошли)). Все просто.Из определения синуса через единичную окружность. Синус -отрезок AP, аргумент -дуга PB. Что больше, хорда или дуга? (здесь полхорды и полдуги) Читать далее
2 эксперта согласныи1 эксперт не согласен
Сергей Чабовский
13 окт 2022возражает
sin x > x всегда при x < 0, x ∈ ℝ.
Потому, что синус, как и косинус по определению это проекции единичного вектора на координатные оси. В этой метрике проекция прямая и не может быть больше объекта, ее создающую.
Вадим Романский
23 апр 2022возражает
более, этого, это переформулировка другого вопроса - "почему синус меньше 1", а не почему меньше х
Потому-что синус есть отношение катета к гипотенузе. А катет всегда меньше гипотенузы, что ещё древние греки знали, называя своими именами аксиомы и теоремы геометрии.
3 эксперта не согласны
Максим Лапиков
13 апр 2022возражает
Аргумент синуса в рассуждениях вообще никак не участвует. В лучшем случае показано, что sin(a)<=1