Добрый вечер, Дмитрий.
Как можно легко заметить из вопроса, речь идет об интервале 0 < x <=1
Ряд Тейлора при этом является знакочередующимся и убывающим по абсолютной величине.
В этом случае первые 2 члена ряда как раз наглядно демонстрируют интересующий автора вопроса эффект:
sin(x) = x - x^3/3! < x
Но даже если взять 3-й член:
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! < x
3-й член не сможет компенсировать отрицательный вклад 2-го и синус продолжает быть меньше аргумента.
А следущий 4-й член снова с минусом:
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! < x
Это наиболее компактное объяснение без всякого рисования.
Это надо доказывать
Доказано Лейбницем.