Почему синус от аргумента всегда(кроме случая x=0) меньше аргумента?

@Максим Лапиков, Тот факт, sin x ≤ 1, следует не из ответа, а из определения синуса. Из чего сразу делается вывод, что для аргументов больше единицы изначальное утверждение справедливо, а при x < 0 — нет. Значит, нам остаётся доказать, что x - sin x > 0, при 0 < x ≤ 1, а в этом диапазоне прекрасно работает геометрическое определение синуса.

@Andronick Arutyunov, В этом случае надо показать, что сам вопрос не верен, ибо x - sin x > 0 при x > 0 и x - sin x < 0 при x < 0. Что подветждается графиком функции. Вот, что должен быть сделать любой настоящий эксперт. Вот только тут «эксперты», ничего на самом деле не знающие, но наполучавшие ничего не значащих значков и пытающиеся самоутвердиться, так не могут.

@Александр Макеев, Конечно, sin (-α) = sin α мы догадаться никак не можем. Тем более что, при отрицательных углах (что есть условность, связанная с выбором системы отсчёта) и само утверждение sin α < α становится неверным.

@Dmitry Maslov, И опять ошибка, sin(x) нечетная функция.

@Александр Макеев, 

Это и означает, что sin (-α) = - sin α и что sin α > α при α < 0. Да, там опечатка вкралась. Минус пропущен. Но это не повод буйно демонстировать свою тут экспертность и шибкую грамотность.

@Dmitry Maslov, Перестаньте защищать неверную точку зрения, признавайте ошибки...

@Александр Макеев, Если вы такой тут «эксперт», обладающий единственно абсолюто верной точкой зрения, то объясните в чём ошибка в утверждении «синус есть отношение катета к гипотенузе». Вы своим тут «экспертным» решением это правило уже отменили? Нет. Оно верно. В чём ошибка утверждения, что sin (-α) = - sin α? Вы его тоже своим тут «экспертным» отменили? Нет, оно верно. Так в чём же ошибка? В чём? Если вы действительно эксперт, то дайте развёрнутый правильный ответ на поставленный вопрос. Иначе получается, что вы как очередной тут «эксперт» просто выпендриваетесь, пытаясь показать свою пустую, тщеславную, никому не нужную и ничего не значащую тут «экспертность». К слову сказать именно из-за таких вот тут «экспертов» сервис потихоньку загибается. Мало кто хочет иметь дело с теми, у кого чувство собственной важности по факту получения значка тут «эксперта» превышает реальные знания по поставленному вопросу.

@Dmitry Maslov, Зачем вы пытаетесь переходить на обсуждение моих личных качеств, которые сами декларируете? Давайте обсуждать существо дела.

@Александр Макеев, Потому-что ваши личные качества, как тут «эксперта», даже не попытавшегося объяснить суть своего возражения и начавшего продолжать выпендриваться, возражая очевидным вещам, весьма сомнительны. Обсуждать суть дела с подобными тут «экспертами» — пустое занятие. И будет пустым, пока мы не увидим полные и исчерпывающие, математически достоверное доказательство, что катет может быть длиннее гипотенузы. А поскольку, вопреки вашему авторитетному тут «экспертному» мнению это математически невозможно, то и дальнейшее обсуждение не имеет никакого смысла.

@Dmitry Maslov, Приведенное вами определение имеет ограничение на величину угла, именно это я и указал. Есть определения триг. функций, свободное от этого ограничения...

@Александр Макеев, Для отрицательных углов неверен не только ответ, но и само изначальное утверждение, что «синус всегда больше своего аргумента». Для неотрицательных чисел данное в ответе утверждение справедливо, ибо отталкивается от теоремы Пифагора, в истинности которой могут сомневаться только нуждающиеся в самоутверждении тут «эксперты», которые на самом деле не могут дать ответ на поставленный вопрос.

@Александр Макеев, Ну как бы отрицательные углы это конечно хорошо, но они при подстановке в функцию всегда преобразуются в положительный. Помните, аргумент периодической функции всегда положительный. В минус - это как в прошлое ....

@Александр, строители не знают, что такое минус.