Какие есть приложения у теории узлов?

========================

Узлы и квантовая теория

========================

В двадцатом веке математики разработали глубокую теорию узлов, которая произвела революцию после открытия Воганом Ф. Р. Джонсом в начале 1980-х многочлена Джонса — способа вычисления числа для каждого узла.

====================

Виттен объясняет, как метод, разработанный Джонсом и другими математиками для сравнения узлов, которые различаются тем, как заполняется недостающая часть (как показано знаком вопроса на изображении выше), привел к множеству связей между полиномом Джонса и математической физикой.

=====================

В квантовой физике узел можно рассматривать как орбиту заряженной частицы в пространстве-времени. Один из способов вычисления многочлена Джонса в квантовой теории включает использование функции Черна-Саймонса для калибровочных полей. Но для использования функции Черна-Саймонса узел должен быть путем в пространстве-времени трех измерений (два пространственных измерения и одно измерение времени), а не четырех измерений (три пространственных измерения и одно измерение времени) реального мира. Начиная с 1980-х годов усилия членов Математической школы, в первую очередь Игоря Френкеля, Луиса Крейна и Майкла Хованова, обобщили многочлен Джонса, чтобы ввести концепцию, известную как гомология Хованова, которая позволяет узлу стать физическим объектом. в четырех пространственно-временных измерениях.

======================

За последнее десятилетие Сергей Гуков, Альберт Шварц и Кумрун Вафа, бывшие члены Школ математики и естественных наук, разработали квантовую интерпретацию гомологии Хованова. Виттен провел последний год, разрабатывая свой собственный подход, который включает калибровочную теорию Черна-Саймонса и электромагнитную двойственность и связывает гомологии Хованова с теориями четырех, пяти и шести измерений. Эти квантовые интерпретации тесно связывают гомологии Хованова с передовыми идеями квантовой теории поля и теории струн.

=======================

В повседневной жизни веревка, например шнурок, обычно используется для закрепления чего-либо или удержания на месте. Когда мы завязываем узел, цель состоит в том, чтобы помочь веревке выполнить свою работу. Слишком часто мы сталкиваемся со сложными и запутанными нитями, но обычно это происходит по ошибке.

=======================

Термин «узел», как его используют математики, лишь немного абстрагируется от этого опыта. Узел в математическом смысле — это возможно запутанная петля, свободно плавающая в обычном пространстве. Таким образом, математики изучают сам клубок. Типичный узел в математическом смысле показан на рисунке 1. Будем надеяться, что эта картинка напоминает нам что-то, что мы знаем из повседневной жизни. Может быть довольно сложно разобраться в запутанной нити — решить, можно ли ее распутать, и если да, то как. Столь же трудно решить, эквивалентны ли два клубка.

Такие вопросы могут не звучать как математические, если вы привыкли думать, что математика — это сложение, вычитание, умножение и деление. Но на самом деле в двадцатом веке математики разработали довольно глубокую теорию узлов с удивительными способами ответа на такие вопросы, как, например, можно ли распутать данный клубок.

=======================

Но почему — помимо того, что тема забавная — я пишу об этом как физик? Хотя узлы — это вещи, которые могут существовать в обычном трехмерном пространстве, меня как физика они интересуют только из-за того, что за последние три десятилетия было обнаружено нечто удивительное.

Первый «многочлен узлов» был открыт в 1923 году Джеймсом У. Александером. Александр, уроженец Принстона, который позже стал одним из первых профессоров Института, был пионером алгебраической топологии. Но история, как я расскажу, начинается с полинома Джонса, который был открыт Воаном Ф. Р. Джонсом в 1983 году. Полином Джонса был существенно новым способом изучения узлов. Его открытие привело к потоку новых сюрпризов, который продолжается и по сей день. Несмотря на то, что полином Джонса очень современен и близок к рубежу современной математики, его можно описать настолько приземленно, что его можно было бы объяснить в классе средней школы без особого ущерба. В современной математике не так много передовых достижений, о которых можно было бы сказать подобное. Например, никто не стал бы пытаться объяснить старшеклассникам доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлса.

Смотри детально https://www.ias.edu/ideas/2011/witten-knots-quantum-theory

==================================================

Cтатья «Квантовые деньги из узлов» (с Эдвардом Фархи, Дэвидом Госсетом, Авинатаном Хасидимом и Эндрю Лютомирски) полагается на безопасность своей «схемы квантовых денег» на предположение, что при наличии двух разных, но эквивалентных узлов трудно явно найти преобразование, которое переводит один в другой.

Полином Александера играет заметную роль в статье.

Квантовые деньги — это криптографический протокол, в котором монетный двор может создавать квантовое состояние, никто другой не может копировать это состояние, и любой (с квантовым компьютером) может проверить, что состояние исходит от монетного двора. Мы представляем конкретную схему квантовых денег, основанную на суперпозициях диаграмм, кодирующих ориентированные связи с одним и тем же полиномом Александера. Мы ожидаем, что наша схема будет защищена от вычислительно ограниченных противников.

==============================

Исторически одним из больших формальных мотивов для теории узлов были такие вещи, как многообразия Брискорна, т.е. поиск решений уравнений вида : z1^p1+z2^p2+⋯+zn^pn=0 в C^n, для различных p[k].

0 обычно является особой точкой, и один из способов ее изучения - пересечь многообразие небольшой сферой с центром около 0.

==============================

В случае n = 2 вы получаете узлы в сферах, во многих случаях вы получаете гомологические сферы (иногда гомотопические сферы) завязаны в сферы. Тип узла сообщает о сингулярности.

В случае n=3 вы получаете трехмерные многообразия Брискорна. Забывая различные координаты, это выражает многообразия Брискорна как разветвленные накрывающие пространства S^3, разветвленные над узлом. Так снова возникают узлы. Глядя на "Геометрические аспекты в развитии теории узлов" М.Эппла, очевидно, что этот взгляд на разветвленные накрытия и узлы восходит к Виртингеру (1895).

Эта точка зрения хорошо изложена в «Особых точках сложных гиперповерхностей» Милнора и развита в «Трехмерной теории зацеплений и инвариантах особенностей плоских кривых» Эйзенбуда и Неймана.

==============================

Если вам удастся убедить своих студентов в том, что гладкие многообразия являются одними из самых красивых и интересных объектов в математике, особенно измерения 3 и 4, которые моделируют нашу вселенную, тогда вы можете сказать, что (среди прочего) узлы являются фундаментальным компонентом в понимании и построении таких моделей.Например,вы можете сказать,что,удалив(хорошо выбранный)узел из S^3, мы можем получить простейшую возможную вселенную с гиперболической геометрией, имеющую конечный объем. Или что каждое 3-многообразие можно построить, удалив и «переклеив» (конечное число) узлов.

Смотри также разделы 17,14,10 ,8,7 по ссылке

Источник https://mathoverflow.net/questions/48222/applications-of-knot-theory