Докажите, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Коллеги уже дали замечательные ответы, но я предложу ещё один вариант. Утверждение, которое Вы хотите доказать эквивалентно следующему: "если некоторый элемент принадлежит пустому множеству, то он принадлежит любому множеству". Утверждение типа "если А, то Б" называется импликацией. В математической логике импликация ложна в одном единственном случае: если утверждение А истинно, а Б ложно. В нашем случае утверждение А всегда ложно (поскольку не существует элемента, принадлежащего пустому множеству), поэтому импликация истинна.