Возьмём самый простой пример. Пусть у нас есть функция, описывающая зависимость длины пройденного пути от времени. Обозначим её s(t) для удобства. А теперь посмотрим, насколько быстро меняется это расстояние в моменты времени. Для этого возьмём произвольный (сколь угодно малый) промежуток времени ∆t. Тело за это время пройдёт путь длиной ∆s = s(∆t). Разделим одно на другое: ∆s/∆t — и подумаем, что это у нас получилось. А получилась у нас скорость, с которой двигалось тело на протяжении ∆t начиная с момента t. Добавим последний штрих: устремим ∆t к нулю. Тело практически не двигается — а скорость s'(t) = v(t) = ds/dt у его при этом есть. Это называется мгновенная скорость: скорость тела в конкретный момент времени. Поздравляю, у нас есть первая производная.
А теперь копнём чуть глубже: исследуем, как меняется сама скорость с течением времени. Снова делим ∆v на ∆t, пока не надоест. Получаем dv/dt = a(t) = v'(t) = s"(t), первая производная скорости и вторая — расстояния, мгновенное ускорение.
Вот как-то так.