Да, систематическое повышение профессионального уровня через прохождение курсов повышения квалификации и (или) профессиональной переподготовки является необходимым условием педагогической деятельности (ст. 48 ФЗ «Об образовании).
Вообще не обязан, но имеет право.
Как показывает практика, чтобы аттестоваться на квалификационную категорию, нужно предоставлять сведения о курсах и проч.