Есть ли какие-то процедуры, которые ускоряют процессы принятия иска к рассмотрению?

Действующим законодательством предусмотрен пятидневный срок рассмотрения вопроса о принятии искового заявления: 

Так, согласно ст. 133 ГПК РФ «Судья в течение пяти дней со дня поступления искового заявления в суд обязан рассмотреть вопрос о его принятии к производству суда. О принятии заявления к производству суда судья выносит определение, на основании которого возбуждается гражданское дело в суде первой инстанции.». 

Ст. 127 АПК РФ гласит «Вопрос о принятии искового заявления к производству арбитражного суда решается судьей единолично в пятидневный срок со дня поступления искового заявления в арбитражный суд.».

В случае если судья не рассмотрел исковое заявление в течение 5 рабочих дней со дня поступления, вы вправе обратиться с заявлением в адрес председателя суда об ускорении процессуального действия. 

Также обращаем внимание, что есть способ получения уже судебного акта в течении пяти дней – судебный приказ. В соответствии с ст. 121 ГПК РФ «Судебный приказ - судебное постановление, вынесенное судьей единолично на основании заявления о взыскании денежных сумм или об истребовании движимого имущества от должника по требованиям, предусмотренным статьей 122 настоящего Кодекса, если размер денежных сумм, подлежащих взысканию, или стоимость движимого имущества, подлежащего истребованию, не превышает пятьсот тысяч рублей.». 

Однако, судебный приказ могут отменить по возражению ответчика. В ст. 129 ГПК РФ прямо указано «При поступлении в установленный срок возражений должника относительно исполнения судебного приказа судья отменяет судебный приказ. В определении об отмене судебного приказа судья разъясняет взыскателю, что заявленное требование им может быть предъявлено в порядке искового производства.».