Во-первых, он, как и все, считал Сириуса предателем Поттеров и убийцей Питера Петтигрю, а также 12 магглов. Даже если были какие-то сомнения, они наталкивались на факты, а факты вещь, как известно, упрямая: Сириуса видели в окружении 12 трупов и пальца Петтигрю, он смеялся, как безумный ("фирменным" блэковским смехом, а весь волшебный мир знал, на что способны представители этого семейства) и даже не пытался оправдаться...
А во-вторых, это не зависело от Дамблдора. Сириуса посадили в Азкабан без суда и следствия, по постановлению Крауча и выписанному им ордеру. Не было слушаний в Визенгамоте, и я не помню, был ли Дамблдор тогда его Верховным чародеем (вообще, по моему мнению, Роулинг слегка поторопилась, назначив на неё Дамблдора в первой книге, т. к. он всегда был в некоторой оппозиции к забюрократизированному, полному предрассудков, практикующему избирательное правоприменение, министерству магии...Хогвартс понятно, Дамблдор учёный и самый сильный маг современности, но чтобы он получил пост Верховного чародея ещё до окончания Первой магической войны, мне сомнительно...Либо же Дамблдор стал Верховным чародеем не ранее конца 1981 года, т. е. уже после прецедента с Сириусом).
А насчёт легилименции, она не применяется в их волшебном судопроизводстве и дознании, так же как и веритасерум (сыворотка правды). Считается, что воспоминания можно изменить, удалить, скрыть, а к сыворотке правды существуют антидоты.