Как влияет изменение наклона земной оси относительно Солнца на продолжительность земных суток?

Влияет, но не до степени сложения и вычитания угловых скоростей. Подробнее ниже в комментарии или в статье "Уравнение времени". В этом ответе - почему "покачивания на 180°" на самом деле нет.

Если добавить на Ваш рисунок направление движения Земли по орбите, станет очевидно, что скорость движения земных объектов относительно гелиоцентрической системы отсчёта всегда выше на ночном полушарии Земли и ниже на дневном независимо от времени года. Но это скорость в указанной системе отсчёта и только. Она влияет, например, на наблюдение метеоров (при этом, очевидно, не является первостепенным фактором), но делать отсюда вывод о большей продолжительности дня по сравнению с ночью при прочих равных условиях (находимся на экваторе и мысленно игнорируем рефракцию) некорректно. О разной продолжительности суток - тем более. Почему? Потому что в гелиоцентрической системе отсчёта расстояния, пробегаемые "дневным" и "ночным" наблюдателями, также не равны.