Израиль (официально - Государство Израиль, хотя правильный перевод - Государство Израиля) было создано (провозглашено) 14 мая 1948 на территории протектората ("подмандатной территории") Великобритании - Палестины.
Это был план по разделу Палестины на 2 государства - еврейское и арабское.
Для Еврейского государства предлагались названия Иудея, Сион, Эрец-Исраэль (Земля Израиля), Евер, Иврия, Герцлия, может быть другие.
Наиболее релевантным было Иудея и за него было больше голосов.
Но по плану раздела Палестины Иудейские горы и гора Сион должны были оказаться на территории арабского государства. Поэтому Иудею и Сион отвергли.
Бен-Гурион предложил название "Эрец-Исраэль" - Государство Израиля, и оно было принято большинством голосов.
14 мая 1948 года Великобритания вывела из Палестины войска, 15 мая закончилось действие мандата на контроль Палестины (всё было согласовано в ООН). В тот же день, 15 мая, 6 арабских стран объявили войну новообразованному государству. Когда Арабо-Израильская война в 1949 году закончилась, территория Израиля оказалась существенно больше, чем планировалось - и Сион, и Иудейские горы оказались уже на территории Израиля. Но название уже менять не стали.
Про исторические корни слов "Израиль" и "Иудея" много информации в других ответах, повторяться не буду. Но всё ж добавлю, что Израильское царство древнее и масштабнее Иудейского, которое было лишь его частью. Так что вполне достойное, солидное, подходящее название.
Иврия, Герцлия - варианты самоназвания еврейского народа (этимологические корни слова "еврей"). Евер - праправнук Ноя, предок Авраама, также является одним из вариантов этимологического корня для слова "еврей".