Физика - это не философия, все концепции в физике имеют четкий смысл. Относительность в физике - это не то, что что-то меряется относительно чего-то, это и так очевидно. На самом деле, ту относительность, про которую вы спрашиваете, проходят еще в школе. Относительность заключается в первом законе Ньютона, он одинаково справедлив и в обычной механике и в релятивистской (то есть в механике, основанной на теории относительности). Он гласит, что существуют такие системы отсчета, относительно которых любое тело, на которое ничего не действует, покоится или движется с постоянной скоростью по прямой. И все такие системы равноправны. Они называются инерциальными системами отсчета или ИСО. Это не тривиальное утверждение о том что какие-то особые СО могут быть удобны, оно подразумевает в себе наличие инерции.
Простой школьный пример: Вы висите в космосе далеко от всего на свете. На Вас ничего не действует, Вы покоитесь относительно себя, Ваша система отсчета инерциальна. Рядом с Вами летит корабль, на него ничего не действует, значит он летит относительно Вас прямолинейно и равномерно сколь угодно долго, поскольку Ваша система отсчета инерциальна. Вот и получается инерция. Теперь что касается равноправия. Человек в корабле никак не может узнать летит ли он или покоится относительно Вас, потому что Ваша и его СО инерциальны и, следовательно, эквивалентны. То же самое и про пассажира самолета, пока он не выглянет наружу, он никаким способом не узнает летит ли самолет или нет, все физические опыты (не связанные со взаимодействием с объектами снаружи) дадут тот же результат. Это и называется в физике принципом относительности.
Существуют и неинерциальные системы отсчета. Например, вы ускоряетесь в ИСО связанной с Землей, в СО относительно Вас любое брошенное вами тело, шарик, например, будет сносить назад. Потому что в ИСО шарик будет просто лететь с постоянной скоростью вперед, а Ваша скорость будет увеличиваться и Вы все дальше будете от него улетать. Относительно Вас шарик летит назад. Но на шарик не действуют никакие силы, а относительно Вас он движется с отрицательным ускорением. Следовательно, Ваша система отсчета неинерциальна и никакой эквивалентности и относительности нет. Иными словами, скорость (прямолинейная постоянная) относительна, ускорение абсолютно.
Можно ли с Землей и Солнцем связать систему отсчета? Можно, с чем угодно можно, но СО связанные с Землей или Солнцем будет неинерциальными. А инерциальной будет СО центра масс системы Земля-Солнце. И Земля, и Солнце будут описывать эллипсы относительно общего центра масс. Но так как Солнце сильно тяжелее, его эллипс будет очень маленьким, фактически, центр масс системы Земля-Солнце лежит внутри Солнца. И поэтому движением Солнца почти всегда пренебрегают и отождествляют приближенно СО центра масс и СО Солнца.
Причем тут теория относительности, когда это чисто Ньютоновская механика? Да не при чем. Несмотря на свое название, основной нетривиальный постулат теории относительности, а именно постоянство скорости света во всех системах отсчета, конкретно с относительностью связан косвенно. Различие ньютоновской или галилеевской механики с механикой Эйнштейна не в наличии относительности ИСО, а в том как связь между этими ИСО выражена. В теории Ньютона время абсолютно для всех наблюдателей, а в теории относительности нет. Но это уже совсем другая история.