Если мы можем полагаться на другие законы арифметики, то этот отдельный факт можно доказать.
Предположим, что есть число x, для которого x * 0 = x', причём x' -- это не нуль (будем для простоты считать, что x' > 0)
Тогда, с одной стороны, x * 0 = x', с другой стороны x * 0 = x * (1 - 1) = x - x
Получается, что x - x = x', откуда x = x + x', то есть x > x, что не может быть правдой.
Значит, наше предположение ведёт к противоречию и нет такого числа x, для которого x * 0 не было бы равно нулю.
Самое простое доказать данное утверждение можно так. Пусть дано выражение:
а*в - а*в = 0 ; преобразуем: а*(в - в) = а * 0 = 0 или:
в*(а - а) = в * 0 = 0. а и в не равны 0.
Поэтому и правило: умножение на 0 равно 0.