Поскольку вопроса тут два, и оба являются довольно щекотливыми, то и ответа будет два, возможно для кого-то слишком скользкими.
Здесь важно разграничить строго юридическое и фактическое (политическое, политологическое) понимание поставленного вопроса.
Есть несколько вариантов, почему Председатель СФ - номер 3. Например, в статье Википедии "Временное исполнение полномочий Президента России" указан порядок высших государственных должностей https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%87%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0_%D0%A0%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B8
Ссылки на ранжирование отсутствуют, поэтому сложно сказать, откуда пошла эта гипотеза. Смею предположить, что это своего рода аналог порядка наследования президентских полномочий в США. Конституция США, 25-я поправка, а также Акт о преемственности президентства 1947 года устанавливают исчерпывающий список должностей, занятие которых может привести на пост Президента США, в случае если со всеми остальными что-то произошло/они не могут занимать изначально пост Президента (например, госсекретарь Мадлен Олбрайт или нынешний министр транспорта Элейн Чао).
Именно в этих документах стоит такой порядок: вице-президент, спикер палаты представителей, глава сената, госсекретарь и так далее, итого 18 должонстей на данный момент.
У нас же существует какой-то буйный микс, поскольку Конституция РФ четко прописывает, что делать, если Президент не может выполнять свои обязанности: его заменяет Председатель Правительства РФ (запомните, дети! нет должности премьер-министр у нас, это журналистское клише). Но вот если с Председателем Правительства, который уже и.о.Президента, что-то не так, то возникает любопытная конституционная коллизия, ибо полномочия Председателя переходят первому заму и далее в чиновничью иерархию, в отличие от США, где главы палат парламента возглавляют очередь.
Внимание, спойлер! Кто не смотрел "Карточный домик", но собирается, переходите к следующему абзацу, тут всего лишь интересный факт с цитатой. Фрэнк Андервуд, получив назначение на пост вице-президента США, отметил, что он всего в шаге от президентства, не получив ни одного голоса. "Демократию сильно переоценивают". Не такая ярко выраженная коллизия, однако тоже любопытно.
У нас же список состоит из высших государственных должностей сначала исполнительной (!), затем законодательной, а уж потом судебной властей + Генпрокурор. Итого 7 фамилий. Еще раз, что это и откуда, мне совершенно непонятно. Если знаете - покидайте ссылки в комменты, разберемся вместе, взяли инфу.
Также, третьим лицом в государстве Председателя Совета Федерации ФС РФ делает "Протокольное старшинство Российской Федерации". Откровенно мутная ссылка (https://elprotocol.wordpress.com/%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5-%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%88%D0%B8%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE/), не вирсуная, но просто доверия текст вызывает немного. Тем более, что на официальном сайте Президента нет таких указов, хотя, вероятнее всего потому что данные документы являются внутренними и поэтому не опубликованы.
Так вот, по ссылке мы видим, что как раз на протокольных мероприятиях и прочих церемониях Председатель Совета Федерации и есть номер 3, за исключением случая, когда на одно мероприятие приходят вновь избранный и не вступивший в должность президент и действующий (в США таких называют "хромая утка").
Еще один момент: указом Президента о государственных должностях (http://ivo.garant.ru/#/document/10103572/paragraph/10:0) утвержден перечень таких должностей, вероятно, оттуда пошла негласная традиция в современной России в официальных документах ставить прежде законодательной власти исполнительную.
Вопрос также, почему третье лицо, а не четвертое, например? Ведь по Конституции нет разделения палат парламента на верхнюю и нижнюю. Эта особенность возникает из некоторых полномочий СФ, например, одобрение законов. Также, верхняя палат в федеративных государствах с двухпалатными парламентами - это палата представительства регионов, то есть здесь наблюдается такой аксиологический момент, что без решения полномочных на то людей от субъектов федерации ни один закон не будет принят. Поэтому Совет Федерации имеет некоторый примат на Государственной Думой.
Таким образом, понятна логика нумерации в целом госдолжностей. Сначала глава государства, он же первое лицо. Затем Председатель Правительства, по Конституции имеющий право замещения должности. И лишь потом Председатель Совета Федерации.
Что же касается вопроса о работе Председателя Совета Федерации, то тут (http://council.gov.ru/structure/chairman/#powers и http://council.gov.ru/structure/chairman/events/) имеется исчерпывающий перечень полномочий и событий, связанных со спикером (тоже скачусь в клише, уже надоело писать председатель, чай не научная работа).
Естественно, недоверие к властным институтам так и тянет отметить, что ряд ученых и общественных деятелей отмечает декоративный характер СФ, что члены СФ занимают в нем свои места, поэтому "почетная отставка" либо "политический чердак". Однако, с содержанием подобных работ или хотя бы ссылок на них сейчас не смогу предоставить, посему не буду заниматься словоблудием. Как говорил Альфред Хичкок, "чем больше места остается воображению, тем лучше", а я же позволю пытливому читателю, дошедшему до сюда, разобраться в вопросе важности Совета Федерации в системе разделения властей в РФ самому.