А как бы вы объяснили, что такое пространство?

Пространство это множество снабжённое некоторой структурой. Например топологическое пространство это множество снабжённой структурой окрестностей для каждой точки, оно описывает интуитивно понятное свойство близости точек. Наиболее общей структурой описывающей бытовое представление об окружЕнии является структура многообразия включающая карты - отображения подмножеств некоторого множества в области R^n с непрерывным согласованием пересекающихся карт- и атласы - совокупность карт, покрывающих все множество. Далее на многообразии можно ввести касательное расслоение в котором каждый слой изоморфен действительному векторному пространству и тп.