На данный момент - никакое. Если бы такое слово существовало, то слово "каршеринг" просто не закрепилось бы в русском языке дальше профессионального жаргона.
У нас есть похожие "русские" слова типа "аренда" или "прокат", но они не передают всех нюансов, а словосочетания типа "краткосрочная аренда" - слишком громоздкие для повседневной речи.
Когда возникнет ситуация, которая позволит избежать недопонимания и всяких-разных уточнений (например, классический прокат автомобилей полностью исчезнет), существующее слово "прокат" естественным путём вытеснит каршеринг, поскольку банально является более удобным для нас.